Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 515.2                                          

АЛЬТЕРНАТИВНІ МОДЕЛІ

СТАЦІОНАРНОЇ ТЕМПЕРАТУРИ В КУБІ

Цибуленко О.В., Манойленко О.С.

Метод Монте-Карло знайшов вдале застосування до широкого кола задач [1,2]. Так як головною ідеєю методу скінчених елементів є розбиття суцільного середовища на підобласті (СЕ) і вважається, що уся головна інформація сконцентрована у вузлах СЕ, то дослідження СЕ можна виділити в окрему задачу. Зокрема, увагу авторів привертає гранична задача відновлення функції всередині СЕ, наприклад, побудова стаціонарного температурного поля на скінченому елементі. Розв’язок відшукується усередненням граничних значень, а коефіцієнти такого усереднення за допомогою методу Монте-Карло. Класична схема цього методу вимагає постановки відповідного числа експериментів (випадкових іспитів), що реалізуються за допомогою організації випадкових блукань по СЕ. В [3, 4] розглянута та обґрунтована можливість замість багатокрокових зигзагоподібних блукань з апостеріорними перехідними ймовірностями використовувати однокрокові блукання з апріорними перехідними ймовірностями і прямолінійними маршрутами.

Рис.1 Тривимірний скінчений елемент із випадковим маршрутом

Сформулюємо задачу. Побудувати температурне поле всередині куба з 20-ма вузлами, якщо в цих вузлах температура відома (рис.1).

Метою даної роботи є порівняння альтернативних моделей побудови температурного поля всередині куба.

Статистичний експеримент полягає у спостереженні за блукаючою частинкою і фіксації факту її прибуття у вузол і (). Для маршрутизації блукань частинки зручно скористатися решіткою з комірками у формі кубів. За результатами n випробувань обчислюються відносні частоти поглинань частинок вузлом і.

Температура у внутрішньому вузлі М кубу знаходиться за формулою:

де  n - загальна кількість частинок, випущених з внутрішнього вузла М_k;

     Т_і – температура у граничному вузлі і;

     n_і – кількість частинок, що фінішували у вузлі і.

Спрощена схема випадкових блукань припускає заміну апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними. Правила випадкових блукань тепер формулюються так: блукаюча частинка стартує із довільної точки М і з ймовірністю N_i переходить у вузол і (), де N_i – базисні функції скінченого елементу. Один з 20-ти маршрутів показаний на рис. 1.

Тепер температура у будь-якій точці всередині скінченого елементу визначається як математичне сподівання вузлових значень температур у граничних вузлах:

де Т_і – температура у вузлі і;

     N_i – базисні функції.

Базисні функції для кубу з 20-ма вузлами мають наступний вигляд [5]:

Якщо в останній формулі переставити  і , отримаємо , , , . Якщо переставити  і , отримаємо , , , .

Розглянемо задачу на прикладі кубу з центром ваги в початку координат, де . Задамо температуру у граничних вузлах:

Таблиця 1.

Перехідні ймовірності для точки (0;0;0)

Таблиця 2.

Значення температури в контрольних точках кубу

Перевірити істинність отриманих перехідних ймовірностей можна за допомогою стержневої аналогії. Для цього розглянемо 20-вузловий куб як конструкцію з 12 прямолінійних стержнів, на кожний з яких припадає по три вузла. Розподіл маси в такому трьох вузловому найпростішому дискретному елементі підпорядковується правилу Сімпсона, тобто в центральний вузол треба помістити маси в 4 рази більше ніж в кожний з периферійних. Але периферійні вузли лежать на стику трьох ребер куба. Таким чином у вершині куба маса в 3/4 рази відрізняється від маси зосередженої на середині ребер.

Отже апостеріорні перехідні ймовірності відповідають фізичному змісту. Що неможливо сказати про апріорні перехідні ймовірності, які мають від’ємні значення. Отже закон великих чисел у формі Я. Бернуллі , на якому ґрунтувалась заміна апостеріорних перехідних ймовірностей базисними функціями, і який давав добру збіжність для елементів низьких порядків [3,4], не підтверджується для кубу з 20-ма вузлами. Такі аномалії (від’ємні перехідні ймовірності) зустрічаються в елементах вищих порядків [5,6].

Але з таблиці 1 ми бачимо, що зберігається ваговий баланс: . Нефізичні флуктуації апріорних перехідних ймовірностей в сумі (2) „гасять” одна одну, тому розв’язок задачі практично співпадає з іншими підходами. Таблиця 2 показує, що вище зазначена заміна статистичних перехідних ймовірностей базисними функціями СЕ є виправданою.

Для переконливості, результати, отримані за формулами (1) и (2), порівнюються з розв’язком кінцево-різницевим методом задачі Діріхлє для рівняння Лапласа (яким, як відомо, описується стаціонарна температура). Для цього була нанесена сітка з 27 внутрішніми вузлами і розв’язувалась система лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (методом Гаусcа). Для отримання вектору правих частин значення температури на гранях були задані за допомогою усереднення заданих граничних умов.

Висновок. Всі три альтернативні моделі побудови температурного поля на скінченому елементі володіють властивістю стійкості, при цьому поліноміальна апроксимація розв’язку задачі значно скорочує і спрощує обчислення, без значної втрати точності, і виключає необхідність покриття СЕ сіткою.

1.                  Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. –М.: «Наука», 1976. – 320 с.

2.                  Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. – М.: «Наука», 1973. – 312 с.

3.                  Манойленко О.С., Колесникова Н.В., Хомченко А.Н. Деякі узагальнення схеми випадкових блукань у мультиплексах // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - Т.6. - Донецк: ИПММ, 2001. - С. 75-79.

4.                  Манойленко О.С., Колесникова Н.В. Математична модель випадкових блукань у мультиплексі // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. - №2(9), 2001. - С. 21-27.

5.                  Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике./ Пер. с англ. под ред. Б.Е. Победри. – М.: Мир, 1975.- 544 с.

6.                  Манойленко О.С., Колеснікова Н.В. Блукання броунівської частинки у дискретному елементі зі штрафними маршрутами // Вестник ХГТУ. - №3(19), 2003. – С. 258-262.