Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 62-50

АЛГОРИТМ АДАПТИВНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Гасанов А.С.

Введение

Математическое моделирование начинается с формализованного описания факторов и связей между ними, которые отражают течение технологического процесса. Построение различных математических моделей объектов производится на основе опытной информации о состоянии объекта (измерений) [1]. Среди них следует особенно выделить математические модели, которые строятся на основании гармонического анализа [2], поскольку, с увеличением количества членов разложения гармонического ряда может быть достигнуто сколь угодно малое различие между вычислениями модели и опытными данными (сколь угодно малые значения невязки). Однако, следует отметить, что на практике любые опытные данные измеряются с погрешностью. Кроме того, существуют стохастические колебания значений функции, которые не должны предсказываться в модели. Поэтому на практике нецелесообразно стремиться к сколь угодно малым значениям невязки.

С другой стороны, модель всегда лишь частично соответствует действительности, поэтому, когда поступает новая опытная информация, модель может быть откорректирована. Для этой цели может служить алгоритм Винера - Калмана [1]. Задачам построения адаптивных систем идентификации и управления посвящены также работы [3–5].

Целью настоящей работы является разработка алгоритма построения математической модели на основе гармонического анализа с применением адаптивных алгоритмов для уточнения параметров модели.

 

Постановка задачи

Рассмотрим метод построения математической модели объекта на основе гармонического анализа. Пусть требуется решить задачу прогнозирования значения функции  на отрезке . Введем отображение:

,                                                                       (1)

и введем функцию

,                                                  (2)

 

с областью определения . Тогда, как известно, такая функция может быть разложена в сходящийся бесконечный ряд вида [2]

 

            (3)

 

где коэффициенты , называемые коэффициентами Фурье, определяются формулами:

 

.

Задача практического применения ряда Фурье сводится к представлению функции с помощью небольшого числа гармонических составляющих [6]. С помощью ряда Фурье можно аппроксимировать заданную функцию  на конечном интервале «равномерно хорошо» [2]. Это означает, что учитываются приближения функции во всех точках интервала.

 

Решение задачи

Рассмотрим процедуру определения коэффициентов ряда Фурье в выражении (3) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В точках измерений  значения модели:

 

, (4)

 

где ое значение аргументов соответственно.

Введем обозначения  как разность между измеренным значением функции  и приближенным значением  при , т.е.

 

                   (5)

 

Значения  и  находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений

 

,

 

где количество значений  и . Функция , как положительно определенная квадратичная форма, достигает минимума при

 

.

 

Выполнив дифференцирование в (4) получим систему алгебраических уравнений с равным количеством неизвестных  уравнений

                                                       (6)

 

Решив систему (6), найдем значения неизвестных параметров модели  и .

Рассмотрим теперь рекуррентные соотношения (фильтр Винера-Калмана [1,3]) для определения неизвестных параметров модели. Систему (4) представим в матричном виде:

 

 

или

,                                                               (7)

 

где . Произведя ое измерение из (7) получим , где

 

 

 ,

 

Применяя рекуррентные формулы из [1] имеем:

 

,                                            (8)

Алгоритм построения математической модели с помощью гармонического анализа

Представим общий алгоритм построения и адаптации параметров математической модели объекта. Для построения математической модели объекта обычно используется опытная информация о состоянии объекта, которую можно использовать для априорного определения параметров модели [3]. Для этой цели в случае построения модели с помощью гармонического анализа можно использовать МНК (соотношения (6)). На рис. 1 представлен алгоритм построения математической модели объекта по априорным данным.

Алгоритм, представленный на рис. 1, состоит из следующих основных этапов.

1. Ввод исходных данных  и преобразование по формулам (1) и (2).

2. Вычисление нулевого члена разложения функции  (модели) в ряд Фурье. В качестве начального приближения можно взять среднее значение: .

3. Для следующего члена разложения в ряд Фурье проводится вычисление параметров по МНК.

4. Вычисляется невязка значений модели и исходной функции в точках измерений по формуле

 

,                                                             (9)

 

5. Если невязка удовлетворяет заданному критерию

 

,                                                                        (10)

 

то модель можно считать построенной. Если нет, – то добавляется еще один член ряда Фурье и заново проводится этап 3 вычисление невязки по формуле (9) и проверки условия (10).


Рис. 1. Алгоритм построения математической модели по априорным данным

Отметим, что на практике в связи со стохастическим характером функции и ошибками измерений не следует задавать слишком малым значение  в формуле (10). Значение  должно быть порядка величины среднеквадратической ошибки измерений.

Представим далее алгоритм уточнения математической модели в процессе прогнозирования и поступления новых данных (см. рис. 2).

В начале производится прогноз с помощью модели, построенной по априорным данным. Затем, при поступлении новых данных, производится адаптация параметров модели по Винеру-Калману (10) и производится новый прогноз. В дальнейшем, при поступлении новых данных цикл адаптации и прогнозирования повторяется.

 

Результаты расчетов

Проверим сходимость и устойчивость предложенного метода по определению неизвестных параметров  определяющих аппроксимацию временной зависимости , представленной в таблице 1, на интервале , где –интервал прогнозирования.

Таблица 1

Временная зависимость

1

-3.011

0.7

13

-1.440

6.2

25

0.131

5.7

37

1.702

5.0

2

-2.880

2.1

14

-1.309

6.2

26

0.262

5.7

38

1.833

5.0

3

-2.749

3.9

15

-1.178

6.2

27

0.393

5.6

39

1.963

4.9

4

-2.618

5.3

16

-1.047

6.2

28

0.524

5.6

40

2.094

4.9

5

-2.487

6.0

17

-0.916

6.2

29

0.654

5.5

41

2.225

4.8

6

-2.356

6.2

18

-0.785

6.1

30

0.785

5.5

42

2.356

4.7

7

-2.225

6.2

19

-0.654

6.1

31

0.916

5.4

43

2.487

4.7

8

-2.094

6.2

20

-0.524

6.0

32

1.047

5.3

44

2.618

4.6

9

-1.963

6.2

21

-0.393

6.0

33

1.178

5.3

45

2.749

4.5

10

-1.833

6.2

22

-0.262

5.9

34

1.309

5.2

46

2.880

4.4

11

-1.702

6.2

23

-0.131

5.9

35

1.440

5.2

47

3.011

4.4

12

-1.571

6.2

24

0.000

5.8

36

1.571

5.1

48

3.142

4.3

 


Рис. 2 Адаптация параметров модели в процессе прогнозирования.

 

В данном случае будем считать, что априорные данные о представленной зависимости отсутствуют, и начальные значения параметров модели берутся произвольными.

Далее проведем вычисления параметров модели  по рекуррентным формулам (8), и проверим сходимость к апостериорным оценкам тех же параметров, полученных с помощью МНК по формулам (6) .

Вычисления проведем для случаев максимального количества членов разложения , то есть на примерах моделей, когда ряды Фурье имеют вид

 

;

;

.

 

На рис. 3, 4 показаны отклонения значений неизвестных параметров, вычисленных детерминированным МНК и адаптивным методом (по рекуррентным формулам (8)) при ,  в зависимости от количества измерений.

На этих рисунках по оси ординат отложена невязка (), а по оси абсцисс количество итераций.

 

Рис. 3 Текущие отклонения параметров a0 (кривая 1), a1 (кривая 2), b1 (кривая 3)

при  от рассчитанных по МНК

Рис. 4 Текущие отклонения параметров a0 (кривая 1), a1 (кривая 2), b1 (кривая 3),

a2 (кривая 4), b2 (кривая 5) при  от рассчитанных по МНК

Анализ графиков свидетельствует о сходимости значений параметров, вычисленных при помощи адаптивных формул (8) к значениям, вычисленным a posteriori по МНК уже при количестве итераций, равной 50.

 

Заключение

Сформулирован алгоритм построения математической модели объекта с помощью гармонического анализа и адаптивного уточнения параметров. Используется алгоритм Винера-Калмана для адаптивного уточнения численных параметров математических моделей. Алгоритм применялся для построения математической модели зависимости, заданной таблицей 1. Бралось ограниченное количество членов ряда Фурье . Показана сходимость и устойчивость рекуррентных соотношений (8) к соотношениям, определяемым по МНК.

Таким образом, полученная математическая модель объекта, может быть использована в системе управления, в котором модель корректируется на каждом шаге измерения по формуле (8). При этом для корректировки модели на каждом шаге используется только последняя точка измерений.

 

Problems of applying of Winner-Kalman filter for adaptive defining of objects mathematics model with using of harmony analyse are considered in this article. Equations for providing of necessary calculation and example for characterising the convergence of recurrent formulas are given.

 

1. Р. Ли. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление.–М.: Наука, 1966.-176 с.

2. К. Ланцош. Практическое методы прикладного анализа. Справочное руководство / Под ред. А.М. Лопшица.–М.: Госфизматлит, 1961.–521 с.

3. Згуровский М.З., Подладчиков В.Н. Аналитические методы Калмановской фильтрации для систем с априорной неопределенностью.–К.: Наукова думка, 1995.–283 с.

4. Гасанов А.С. Адаптивные методы построения математических моделей объектов / Кибернетика и вычислительная техника.–2004.–№ 142.–С. 57-68.

5. Бидюк П.И., Гасанов А.С., Подладчиков В.Н. Прогнозирование значений параметров динамических систем с помощью адаптивного фильтра Калмана / Кибернетика и системный анализ.–2001.–№ 4.–С. 21–33.

6. Гасанов А.С. Адаптивные методы построения математических моделей объектов с помощью гармонического анализа / Международная научная конференция “Интеллектуальные системы принятия решений и прикладные аспекты информационных технологий” (IDMIT'2005).–Евпатория: Херсонский морской институт, 2005.–Том 1.–С. 56–60.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.