УДК 65.017.01

КООРДИНАЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОДСИСТЕМ В                            АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ.

Ходаков В.Е., Соколова Н.А.

Координация – это не что иное, как согласование, что становиться очевидно если рассмотреть координацию на примере предприятия, как сложной системы. Такие системы в общем виде практически не формализуемы, поэтому к ним применяется метод декомпозиции на более простые системы, который выполняется до тех пор пока будут получены все подсистемы (их структура и взаимосвязь), которые можно формализовать. Тогда координация такой системы будет процессом, при котором согласовываются выходы одних подсистем со входами других. Координацию можно считать достигнутой когда все входы и выходы всех систем согласованы. В качестве сравниваемых выходов и входов в различных системах могут использоваться показатели, характеристики различной физической природы: расходы каких-то компонентов, величины напряжения тока, время, стоимость, объем, количество и др. Однако ни в литературе, ни на практике вопросам координации не уделялось должного внимания, они до сих пор не получили серьезного теоретического обоснования, отсутствуют математические модели координации и результаты их использования [1,2].

Рассмотрим систему типа АСУТП из  подсистем (участков технологических объектов управления (ТОУ)), описываемых в установившемся режиме следующими уравнениями подсистем [3]:

,                                                 (1)

где  – векторный интегро-дифференциальный, в общем случае, оператор (здесь и далее размерность векторов в общем случае зависит от индекса );

 – вектор входных воздействий, приложенных к -й подсистеме со стороны других подсистем;

 – вектор управления -й подсистемой;

 – вектор выходных переменных -й подсистемы, а также системы в целом.

Связи между подсистемами будем считать установившимися:

,                                          (2)

где  – вектор-функция; в частности в АСУТП распространены линейные взаимосвязи между подсистемами:

.                                                  (3)

Ограничения при управлении технологическим процессом (ТП) имеют вид:

,                                     (4)

где  – вектор-функция.

Если режим ТП регламентирован, то уравнения (1) и (2), можно рассматривать как уравнения для отклонения реального режима  от заданного. Поэтому модель цели управления можно задать лишь целевой функцией  (обычно переменной составляющей затрат на ТП в целом) которая должна минимизироваться:

.                                    (5)

Целевая функция обычно является аддитивной функцией затрат в отдельных подсистемах:

                                             (6)

Таким образом, исходная задача заключается в минимизации целевой функции (6) при связях (1), (2) и ограничениях (4). Метод решения таких задач основан на обобщении метода множителей Лагранжа для ограничений-неравенств и состоит в сведении указанной задачи на условный экстремум к задаче на безусловный, связанной с минимизацией Лагранжа:

                         (7)

Согласно теореме Куна-Такера о селдовой точке [3] необходимые (и достаточные, если функции ,  выпуклы) условия оптимальности имеют вид условий стационарности Лагранжа при вариации переменных :

(8)

.

Условия (8) должны выполнятся в точке оптимума , при этом множители Лагранжа  можно рассматривать как некоторые оптимальные «цены», устанавливаемые в процессе взаимодействия переменных как внутри подсистемы («цены» ), так и между подсистемами («цены» ). Ввиду высокой размерности системы уравнений-неравенств (8) ее решение в практических случаях сложно. Если же «цены» заранее заданы – известны, то задача может быть решена путем независимого решения каждой -й подзадачи, т.е. независимой оптимизации каждой -й подсистемы. Поскольку размерность каждой -й подзадачи существенно меньше размерности исходной задачи (системы в целом), то решение отдельных подзадач существенно проще. Используется два метода реализации такого подхода:

- метод предсказания взаимодействий;

- метод баланса взаимодействий.

Метод предсказания взаимодействий основан на том, что связи между подсистемами мысленно разрываются, рассматриваются отдельные подсистемы, точнее – их модели, определяемые уравнениями (1). Однако возможно, что оптимизируя каждую подзадачу в отдельности можно получить такие значения выходных переменных , которые не удовлетворяют уравнениям взаимодействий подсистем (2). Для устранения этого применяется координация путем изменения величин , что и делается следующим образом.

Рассматривая лагранжиан (7) исходной задачи при условии, что выходные переменные  можно варьировать, сформулируем задачу оптимизации -й подсистемы  в виде:

Минимизировать при заданных  подцелевую функцию

.                  (9)

Для решения этой задачи используются уравнения (8), кроме уравнения , которое должно выполнятся в точке оптимума. Поскольку решения  подзадач (9) зависят от переменных , то уравнение  исходной задачи при заданных  может не выполнятся. Поэтому «предложения  следует изменять до тех пор, пока уравнение  станет удовлетворяться. Задача координации подсистем формулируется следующим образом:

При заданных (определенных из  подзадач) (9) значениях  найти такие , чтобы удовлетворялось уравнение .

Решение является итеративным:

1) замеряются начальные значения выходов системы .

2) решают системы уравнений (8) (за исключением уравнений  т.к. оно должно выполнятся в точке оптимума), из них определяют .

3) вычисляются невязки:

,                               (10)

если значение  (где  – погрешность) равно нулю, то решение задачи прекращается (координация достигнута). Если же значение отлично от нуля, значение  корректируется и процесс повторяется.

Если при  система не имеет решения или  меняет знак то , производится возврат на 1 шаг и пересчитывается .

Процесс коррекции является итеративным:

                                                 (11)

где -скаляр, от которого зависит сходимость процесса координации, т.е. выполнение условия

                                                          (12)

Схема двухуровневой координации, реализующей указанные алгоритмы, показана на рис.1: на первом уровне решается задача (8), а найденные «цены»  посылаются на второй уровень, который координирует «предложения»  для первого уровня.

Покажем на не сложном примере применение координации. Пусть предприятие, выпускающее продукцию. Предприятие закупает сырье, но может на покупать сырье и не производить продукцию а покупать готовую. Рассмотрим задачу принятия решения производить или покупать какие-то изделия, определенные комплектующие для достижения минимальных затрат (рис 2.).

В соответствии с изложенным ранее подходом для описания таких систем достаточно три вектора  с соответствующими отношениями между ними. Перечислим эти вектора:

- для подсистемы 1 из рис 2. (снабжение):

- для подсистемы 2 (производство):

Переменные  являются константами.

Рассмотрим элементы вектора.

Первая подсистема:

 – выходное управляющее воздействие – количество изделий которое предприятие должно произвести, а не покупать;  – цена заготовки из которой производится изделие;  – цена покупного изделия;  – количество заказанных изделий;  – количество производимых изделий;  – количество изделий, производимых производством;  – постоянные затраты при производстве;  – затраты на одно изделие.

Опишем структуру системы (рис. 2) следующим образом:

1) Каждая из приведенных подсистем описывается уравнениями вида:

Количество изделий (под которое снабжение закупает узлы и комплектующие)  должно быть равно управляющему воздействию , определяющему количество изделий, которое предприятие должно произвести:

.

2) Связи между подсистемами описываются уравнениями вида:

Количество – т.е. собственное производство  должно быть равно количеству изделий, под которое снабжение закупает узлы и комплектующие :

.

3) Накладываемые ограничения описываются неравенствами:

Величины  – числа не отрицательные:

Управляющее воздействие  не может быть больше количества заказанных изделий :

.

4) Целевая функция  имеет следующий вид:

.

Стоимость затрат определяется как сумма затрат на покупку заготовок для производства и затрат на покупку готовых изделий:

.

Стоимость затрат для производства равна сумме затрат на производство и затрат на каждое изделие:

.

Метод решения таких задач основан на обобщении метода множителей Лагранжа для ограничений-неравенств и состоит в сведении указанной задачи на условный экстремум к задаче на безусловный, связанной с минимизацией Лагранжа:

.

В соответствии с излагаемым методом решения составим уравнения систем в общей форме: приведем полученную систему для  (система снабжения):

Для  (подсистема производства):

Пример 1. Пусть стоимость заготовки для изготовлении изделия равна 1 у.е. , стоимость покупного изделия – 4 у.е. , количество выпускаемых изделий 10 шт. , постоянные затраты при производстве – 1 у.е. , затраты на одно изделие – 2 у.е. , скаляр от которого зависит сходимость процесса координации 1 , допустимая погрешность 0.3 .

В соответствии с предложенным алгоритмом координации элементарных подсистем, для метода баланса взаимодействий, получим:

Итерация 1:

1.1)

1.2)

Тогда ;

Тогда .

1.3)

.

Итерация 2:

2.1)

2.2)

Тогда ;

Тогда .

2.3)

.

Итерация 11:

11.1)

11.2)  результат ;

 результат .

11.3)

.

Итерация 12:

12.1)

12.2)  нет решений;

12.3) ;

.

т.к. , то переходим к следующей итерации.

Итерация 13:

12.1)

12.2)  нет решений;

12.3) ;

.

т.к. , прекращаем решение – координация достигнута.

Пример 2. Те же данные, за исключением .

Итерация 1:

1.1)

1.2)  результат

        результат

1.3)

.

Итерация 2:

2.1)

2.2)  нет решений;

2.3) ;

.

т.к. , то переходим к следующей итерации.

Итерация 3:

3.1)

3.2)  нет решений;

3.3) ;

.

Т.к. , останавливаем итерационный процесс – координация достигнута за более короткий отрезок времени (3 итерации, в первом примере 13).

Изложенные математическая модель и алгоритм координации подсистем в автоматизированных системах управления могут быть использованы при решении задач оптимизации в сложных системах различных классов.

1.                 Власов С.А., Волчек Н.Г., Горгидзе Н.И. Современные компьютерные средства для согласования управления технологическими и организационными процессами в производственных системах. // Управление большими системами. Материалы международной научно-практической конференции – М.: СИНТЕГ, 1997, С. 68.

2.                 Живило М.Ю. Система согласованного управления производством в рыночной экономике. // Управление большими системами. Материалы международной научно-практической конференции – М.: СИНТЕГ, 1997, С. 80.

3.                 Егоров С.В., Мирахмедов Д.А. Моделирование и оптимизация в АСУТП. Ташкент: Мехнат – 1987. – 200 с.