Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 621.37:519.6

МЕТОД БАРИЦЕНТРИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ
ГРАНИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ С КВАДРАТИЧНОЙ
ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Лурье И.А.

Введение. Уравнение Лапласа по праву считается одним из наиболее важных уравнений математической физики. Существует множество методов решения этого уравнения. Большинство из них приспособлено к геометрически тривиальным областям и простым граничным условиям. Наиболее распространены сеточные методы (конечных разностей, конечных элементов, контрольных объемов [1]), а также итерационные методы (типа Либмана), использующие сеточное представление функции [2]. Сюда же можно отнести и классический вариант метода Монте-Карло [3], использующий сетку для маршрутизации случайных блужданий.

В тех случаях, когда требуется найти потенциал лишь в нескольких точках области, удобнее и выгоднее использовать несеточные методы, способные адаптироваться к границам сложной конфигурации. К таким методам относится МБУ – метод барицентрического усреднения [4, 5, 6]. Стремление минимизировать объем вычислений с целью исключить избыточную информацию делает весьма актуальной проблему создания и усовершенствования простых и надежных несеточных методов алгебраизации эллиптических задач.

Основное внимание в работе уделено усовершенствованию МБУ с треугольным вычислительным шаблоном. Предпринята попытка получить квадратичное уточненное решение за счет включения в шаблон трех дополнительных расчетных узлов.

Постановка задачи. Задача заключается в построении вычислительной формулы МБУ для треугольного шаблона с 6-ю узлами, реализующей квадратичную интерполяцию полевой функции. Значения искомой функции в исследуемых точках (их может быть несколько) определяются как взвешенные средние узловых значений на шаблоне. При этом три узловых значения ассоциируются с вершинами треугольника, лежащими на границе области, остальные три (в серединах сторон треугольника) “сносятся” с контура области. Взвешенное усреднение на “стоп-кадре” и “снос” граничной информации на кромки шаблона осуществляются на основе барицентрических представлений. В результате получается шестимаршрутная одношаговая (что особенно важно) схема случайных блужданий метода Монте-Карло. В качестве переходных вероятностей используются базисные функции шестиузлового конечного элемента. Исследуемая область D и вычислительный шаблон показаны на рис.1.

Результаты. Выберем на границе Г области D расчетные узлы 1, 2, 3 и образуем треугольный “стоп-кадр” (рис.1). В классическом варианте МБУ трех узлов достаточно для вычисления искомой функции  в точке M по формуле

(1)

где  – известные узловые значения функции  на границе Г (условия Дирихле);  – барицентрические координаты (Б-координаты) точки M в симплексе 123.

Необходимо подчеркнуть, что на отдельном “стоп-кадре” формула (1) дает точное решение трехточечной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Иначе говоря, свойства линейных по x и y функций  таковы, что и уравнение Лапласа, и граничные условия удовлетворяются точно. Основной недостаток классической модели (1) в том, что она реализует линейное поведение искомой функции , что далеко не всегда отвечает истинному характеру гармонической в области D функции . Известно, что все линейные функции являются гармоническими, однако не все гармонические функции линейны. Вот почему для получения приемлемой точности вычислений в точке M строится последовательность “стоп-кадров”, накрывающих точку M с дальнейшим арифметическим или взвешенным усреднением результатов. Возникает вопрос: нельзя ли получить приемлемую точность на единственном “стоп-кадре”, оснащенном нелинейным (например, квадратичным) базисом? Для исследования возможности минимизации вычислений выберем на треугольном шаблоне дополнительные узлы 4, 5 и 6 в серединах сторон треугольника (рис. 1).

 

Рис. 1. Вычислительный шаблон с квадратичной интерполяцией.

 

Теперь в качестве вычислительного шаблона выступает известный в МКЭ треугольный элемент с квадратичной интерполяцией. С помощью такого шаблона значение искомой функции в точке M вычисляется по формуле:

(2)

где  – узловые значения функции ;  - базисные функции КЭ, которые выражаются через Б-координаты следующим образом:

; ; ;

; ; .

(3)

Остается “снести” информацию с границы Г в расчетные узлы шаблона 4, 5, 6. Покажем, как это можно сделать на примере узла 5, в который транслируется информация из граничных узлов 1 и А. Для этого нам потребуются координаты точек 5 и А. Проще всего определяются координаты узла 5:

; ;

Далее составляется уравнение прямой, проходящей через две точки 1 и 5, чтобы определить координаты . Теперь найдем узловое значение . В узел 5 транслируется информация из граничных узлов 1, 2, 3, А. С одной стороны . С другой стороны

Теперь приписываем узлу 5 значение . Аналогично определяются значения  и , необходимые для вычислений по формуле (2).

Выводы. Предварительное сопоставление линейной (1) и квадратичной (2) моделей с использованием в обоих случаях шести узлов на границе области показывает, что для обеспечения одинаковой точности вычислений при квадратичной интерполяции достаточно одного “стоп-кадра”, а при линейной интерполяции число “стоп-кадров” достигает 10 (и существенно зависит от сложности условий на границе области).

Полученные результаты открывают перспективы для дальнейшего развития новых способов коррекции поля в двумерных и трехмерных вариантах МБУ. Представляет интерес компьютерное тестирование нелинейной модели МБУ в комбинированном режиме интерполяция-экстраполяция.

 

The algorithm of square-law elaboration of Dirichlet problem solution for Laplace equation in free shape of area is proposed. The computational formula of barycentrical averaging method of boundary potential is developed.

 

1.                  Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980. – 516 с.

2.                  Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 238 с.

3.                  Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с.

4.                  Хомченко А.Н. Вероятностные схемы в дискретном анализе температурных полей // Инж.-физ. журнал. 1988. Т 55, №2. – С. 323-324.

5.                  Хомченко А.Н. Упрощенный анализ тепловых полей в областях сложной формы // Инж.-физ. журнал. 1990. Т 59, №1. – С. 146-149.

6.                  Хомченко А.Н. Стационарные поля и случайные блуждания в симплексах // Интегр. преобразов. и их применения в краевых задачах. Сб. науч. тр. –К.: Ин-т математики НАНУ, 1995. – С. 251-253.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.