Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 519.6

ЯВЛЕНИЕ «СВЕРХСХОДИМОСТИ»

В ЗАДАЧЕ ПРАНДТЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В.

Постановка проблемы. Описывая явление «сверхсходимости» в современных методах численного анализа, Дюпон и Дуглас [1] указывают на существование узлов, в которых имеет место неограниченная точность. Феномен «сверхсходимости» в настоящее время тщательно изучается. Применение «суперузлов» резко сокращает объем вычислений, обеспечивая при этом высокую точность результатов. Определить достаточное количество таких узлов и их расположение довольно сложно. Примеров успешного решения этой проблемы пока совсем мало, поскольку явление редкое и отчетливо проявляется лишь в исключительных случаях, которые авторы [1] называют специальными. В настоящей работе описан именно такой специальный случай. Для иллюстрации явления «сверхсходимости» мы рассматриваем задачу о кручении призматического стержня с эллиптическим поперечным сечением. Эта задача при помощи функции напряжений Прандтля сводится к задаче Дирихле для уравнения Пуассона со специальной правой частью и однородным граничным условием на контуре эллипса. В такой постановке легко перейти к задаче Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородным граничным условием.

Анализ предшествующих публикаций, постановка задачи. Существуют две теории кручения стержней некругового сечения. Одна из них была развита французским механиком Сен-Венаном (1797–1886), другая – немецким гидроаэромехаником Прандтлем (1875–1953). Обе теории обсуждаются в работе [2]. Наиболее ярким примером изобретательного использования узлов повышенной точности являются формулы приближенного интегрирования Гаусса-Лежандра [3]. Существование суперузлов на эллипсе и других контурах впервые было обнаружено экспериментально [4, 5]. Задача целенаправленного  поиска узлов сверхсходимости наиболее актуальна для несеточных методов [6]. Благодаря известным аналогиям [7] Прандтля, Буссинеска, Томсона и Тэта, Гринхиля установлены связи задачи о кручении призматического стержня с другими задачами механики, электростатики, гидродинамики. В начале 50-х годов ХХ столетия американский математик Дж. Дуб установил, что модель кручения призматического стержня пригодна для хронометрирования в среднем случайных блужданий в замкнутой области.

Цель работы – установить количество и расположение узлов «сверхсходимости» на контуре эллипса. Показать, что суперузлы являются эффективным средством упрощения алгоритма и минимизации объема вычислений. Сопоставить упрощенный подход с известными решениями данной задачи методами конечных элементов и граничных элементов.

Основная часть. Задача о кручении призматического стержня произвольного поперечного сечения [8, 9] сводится к отысканию функции напряжений Прандтля  как решения уравнения Пуассона

 

                                                                                                                                (1)

 

с нулевым граничным условием

 

                                                                                                                                       (2)

 

При решении такой задачи неоднородность уравнения (1) часто переносят в граничное условие с помощью замены

 

                                                               .                                                           (3)

Такая замена сводит задачу (1) – (2) к отысканию решения уравнения Лапласа (гармонической функции)

 

                                                                                                                                  (4)

 

с граничным условием

 

                                                             .                                                         (5)

 

Переход к задаче Дирихле для уравнения Лапласа относительно функции  позволяет применять различные приемы усреднения граничных потенциалов. Через функцию Прандтля (3) определяются касательные напряжения в поперечном сечении

 

                                                        ,

 

где  – модуль сдвига материала;  – относительный угол закручивания (крутка). Крутящий момент выражается через функцию Прандтля следующим образом

 

                                                           .                                                      (6)

 

Важной характеристикой здесь является геометрическая жесткость при кручении

 

                                                               .                                                           (7)

 

Эта величина, как правило [9], более чувствительна к погрешностям метода, нежели функция Прандтля.

Рассмотрим задачу о кручении стержня постоянного поперечного сечения в форме эллипса с полуосями  и . В этом случае задача имеет точное аналитическое решение

 

                                                      ,                                                  (8)

 

что очень важно для сопоставления различных подходов. С точки зрения геометрии «холма» Прандтля – функция (8) представляет собой перевернутый эллиптический параболоид с вершиной , «натянутый» на эллиптический контур поперечного сечения. Это означает, что точность решения (8) зависит от точности вычисления только одной (максимальной) аппликаты в центре сечения. Из формул (3), (4), (5) следует, что высота «холма» Прандтля определяется усреднением граничных значений гармонической функции . Формула (7) определяет удвоенный объем «холма» Прандтля. Благодаря замечательному свойству параболоида можно предложить простую формулу для геометрической жесткости

 

                                                                        ,                                                                    (9)

 

где  – высота «холма» в центре сечения,  – площадь сечения. Для сечений в форме круга и эллипса формула (9) абсолютно точна. На других сечениях появляются погрешности, вызванные искажениями поверхности параболоида вблизи контура сечения.

Для иллюстрации феномена «сверхсходимости» рассмотрим эллиптическое сечение с размерами , . В работе [9] функция Прандтля и геометрическая жесткость такого сечения определяются методами конечных и граничных элементов. На рис. 1 представлена дискретизация поперечного сечения сеткой конечных элементов. Общее число элементов – 48, общее число узлов – 33, из них 17 внутри области и 16 на границе. Эти же 16 граничных узлов используются в методе граничных элементов. Поиск узлов «сверхсходимости» иллюстрирует рис. 2.

 


Рис. 1 Дискретизация эллипса сеткой конечных элементов

 


Рис. 2 К поиску «суперузлов» на границе области

 

В работе [9] приведены следующие значения максимальной высоты «холма» Прандтля: по МКЭ получено , по МГЭ – . Точное значение (при , ) . Заметим, что точное значение  можно получить гармоническим усреднением двух экстремальных граничных значений гармонической функции в вершинах эллипса. Из этого следует, что каждая четверть эллиптической границы содержит точку (узел «сверхсходимости»), в которой граничное значение в точности равно гармоническому среднему экстремальных граничных значений. Понятно, что каждое промежуточное значение из области изменения гармонической функции на границе повторяется в 4 узлах – вершинах вписанного прямоугольника (рис. 2). Вершины прямоугольников находятся в точках пересечения окружностей   с контуром эллипса. Каждый прямоугольник является простым вычислительным шаблоном для определения . При этом шаблоны, вытянутые вдоль малой оси эллипса, занижают результат, остальные (кроме одного) – завышают. Легко установить, что в этой бесконечной серии только один шаблон (квадрат, вписанный в эллипс) дает точный результат .

Интересно, что квадрат радиуса окружности, описанной около квадратного шаблона, равен среднему гармоническому квадратов радиусов вписанной () и описанной () окружностей. Иначе говоря, в бесконечной серии концентрических окружностей существует одна «среднегармоническая» в смысле площади круга. Она и определяет узлы «сверхсходимости», позволяющие реализовывать простую процедуру гармонического усреднения граничных значений. Важно отметить, что добавление новых расчетных узлов на контуре не улучшает результат. Фактически, достаточно одного узла.

В заключение сопоставим точное значение геометрической крутильной жесткости (7) с приближенными оценками, полученными в [9] и настоящей работе:

 

                                            

 

Выводы. В несеточных алгоритмах для решения граничных задач важную роль играют узлы повышенной точности, образующие простые и удобные вычислительные шаблоны. При этом качество расчетных узлов (удачное расположение) гораздо важнее их количества. Представляет интерес поиск узлов «сверхсходимости» на эллипсоиде в трехмерной задаче типа Прандтля для уравнения Пуассона.

 

The algorithm of search of points of superconvergence in procedure of harmonious averaging boundary potentials is described.

 

1.                  Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.– М.: Мир, 1977.– 349 с.

2.                  Fung Y.C. Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.Y., 1965.– P. 162–170.

3.                  Сегерлинд Л. Применения метода конечных элементов.– М.: Мир, 1979.– 392 с.

4.                  Хомченко А.Н. Случайные блуждания и конечноэлементные аппроксимации температурных полей // Матем. модели, методы решения и оптимального проектиров. гибких пластин и оболочек: Межвуз. сб. науч. тр.–Саратов: СПИ, 1988.– С. 80–82.

5.                  Хомченко А.Н. Вероятностные модели и алгоритмы вычислительной механики для областей сложной геометрии // Респ. конф. «Эффектив. числ. методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела»: Тез. докл.– Харьков: ХИСИ, 1989.– С. 137–138.

6.                  Лур’є І.А., Хомченко А.Н. Вузли суперзбіжності та спосіб обертання симплекса// Крайові задачі для дифер. рівнянь: Зб. наук. пр.– К.: Ін-т математики НАНУ, 1998.– С. 201–204.

7.                  Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х томах. Том 1.– М.: Машиностроение, 1968.– 831 с.

8.                  Prandtl L. Zur Torsion von prismatischen Staben. Phys. Zcitschr., 4, 1903.– S. 758–759.

9.                  Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике.– М.: Мир, 1982.– 248 с.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Дембровская М.В. Барицентрические оценки электростатического поля в круге.

Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Лурье И.А. Метод барицентрического усредне-ния граничных потенциалов с квадратичной интерполяцией электростатического поля.

Астионенко И.А., Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Моделирование физических полей с распределенными параметрами в многоугольных областях

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

51 Математика

Бойченко С.В. Математична модель технологічної системи рекуперації пари моторних палив.

Сальдо В.В., Шеховцов А.В. Методы анализа нелинейных систем.

Таблицы общих определителей "I(G)" (Периоды времени)

55 Геология. Геологические и геофизические науки

Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко Е.И. Сглаженное усреднение граничных потенциалов на сирендиповых элементах

Колесникова Е.В., Кострова Г.В. Формирование базы данных АСУТП дуговой сталеплавильной печи.

Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Лагранжева модель потенциального поля

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Приложение положений теории дросселя и трансформатора к расчету и анализу электромагнитом переменного тока.