Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

 

УДК 622.673.8

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ КОНТАКТИРУЮЩИХ ТЕЛ НА УГОЛ СМАЧИВАНИЯ ЖИДКОСТИ В МЕЖЧАСТИЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

 Исаев Е.А., Наговский Д.А.

Данная статья посвящена исследованию влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания. Материалы статьи могут быть использованы для построения математических моделей процессов, связаных с влагой, увлажнению каких либо частиц. Для простоты изъяснения сразу же введем конкретный пример: окомкование сыпучих материалов. Оптимизация данного процесса играет немаловажную роль в промышленности Украины в виду обеднения руд. Основным влияющим фактором в процессе окомкования является влажность сырья. Поэтому имеет смысл исследовать степень увлажненности частиц для определения силы их сцепления.

Постановка задачи.   Исследовать влияние кривизны контактирующих тел на угол смачивания с целью дальнейшего использования полученных результатов для построения математических моделей процессов, связанных с увлажнением материала.

Равновесный угол Θ0 является одной из важнейших характеристик смачивания твердой поверхности при контакте жидкости и твердого тела [1].

На величину равновесного краевого угла смачивания определенное влияние имеет кривизна жидкостной манжеты при контакте двух сферических частиц с значительным (по отношению к объекту твердых частиц) количеству воды в точке контакта. При этом равновесный краевой угол изменяется.

Определение величины равновесного краевого угла смачивания наиболее точно отражается в уравнении, основанном на минимуме свободной энергии системы «твердое тело-жидкость-газ» в состоянии равновесия по выражению:

(1)

где        - поверхностные натяжения на границах соответствующих фаз;

 - площади поверхности раздела фаз, участвующих в смачивании. В случае рассмотрения капли смачивающей жидкости на гладкой однородной и твердой поверхности, выражение (1) представляется в виде

(2)

где Θ0 – равновесный краевой угол смачивания, для определенного вида материала и жидкости есть величина постоянная.

При получении математической модели связывающей геометрически параметры твердых тел различной кривизны с величиной угла смачивания Θ мы использовали (1).

Рассмотрим вышеназванную систему геометрически, представив каплю жидкости в виде твердого тела, т.е. выражение (1) можно привести к виду

(3)

В случае контакта сферических или других частиц между собой, или сферической частицы и плоскости с прослойкой жидкости в точке контакта, равновесный краевой угол, по нашему мнению, изменяет свою величину в зависимости от геометрии смачиваемых и контактирующих поверхностей, и правая часть выражения (2) становится функцией некоторого угла 0, не равного Θ0. Мы допускаем, что кольцевая жидкостная манжета в своем сечении имеет форму близкую к окружности. Тогда, используя рис. 1,а можно записать уравнение

 

(4)

 

Откуда

 

 

Наружную     поверхность     смачивающей    жидкости    найдем    из следующего выражения

 

(5)

где 

 

Подставив (4) в (5), после преобразований получим

(6)

 

Здесь- поверхность жидкость - газ для двух сфер одинакового диаметра

Из (6) при

 

С   другой   стороны,   уравнение   поверхностей,   контактирующих   с жидкостью, записывается в виде

 

откуда

 

Используя (2), запишем для нашего случая

(7)

Выражение (7) связывает значение функции краевого угла смачивания Θ   с поверхностным натяжении на границах раздела фаз с учетом формы контактирующих частиц и объема жидкостной прослойки.

С другой стороны, значение угла смачивания Θ характеризует способность двух частиц образовывать устойчивый микроагрегат за счет сил капиллярного разрежения

,

 

где

 

Сопоставив выражения (3) и (7), а также проанализировав последнее отметим,    что   в    области   контакта   изменяется    соотношение   между , т.е. изменение геометрии твердых поверхностей и объема жидкостной прослойки, по нашему мнению, эквивалентно лиофильности жидкости, контактирующей с твердой поверхностью, характеризующейся равновесным краевым углом смачивания   Θ.  Исходя из  изложенного, подставив выражение для определения силы сцепления между частицей сферической формы и плоскости (рис. 1,6)

 

 

где

 

в (7), можно получить степень влияния формы частиц количества жидкости в точке контакта на значение угла смачивания   Θ   для различных по лиофильным свойствам жидкостей.

Рис. 1,а Взаимодействие частиц одинаковых размеров

Рис. 1,б Взаимодействие частицы с плоскостью

 

Отметим, что изложенные теоретические исследования не противоречат с физическими представлениями о капиллярном взаимодействии различных по характеру кривизны поверхностей, рассмотренных, например, в [2].

Зависимость   Θ = f(r1/R1) , полученная из (7), представлена на рис. 2.

Рис. 2  Зависимость краевого угла смачивания  Θ   в функции кривизны поверхностей контактирующих тел и равновесного угла Θо.

———     -   сферы одинакового размера;

— —     -   сферы и плоскости.

 

Анализ этого рисунка показывает, что при угле Θо<25°...20° геометрия поверхности частиц не оказывает существенного влияния на угол смачивания    Θ    при   различной   влажности   материала   (r1/R1). Если равновесный угол смачивания жидкости находится в пределах 20°<Θо<75°, то угол Θ, а равно и способность к окомкованию. в большей степени зависит от количества жидкости в точке контакта. При этом, например, для угла Θо>60° жидкости должно быть не более, чем (r1/R1) =0,36, в противном случае незначительное увеличение количества жидкости (до (r1/R1) =0,5) приводит к возрастанию угла смачивания Θ с 15° до 60°, что ухудшает условия окомкования материала. При Θ0>75° окомкование  практически невозможно даже при (r1/R1) =0,1. Таким образом, окомкованию    способствуют    жидкости,    имеющие    угол    смачивания поверхности материала Θо<25°, при этом материалы можно увлажнять практически до состояния максимальной капиллярной влагоемкости (по В.М. Витюгину).

Рассмотрим вопрос определения угла смачивания Θ для случая контакта сферической частицы и плоскости. Согласно рис. 1,6 и, используя изложенную ранее методику для данного случая, запишем

 

 

где

 

 

После преобразований получили:

(8)

Производная от  по r2   имеет вид

(9)

Используя подстановку (8) и (9) в (2), получим

(10)

Зная величины       с учетом количества жидкости в  области взаимодействия, из (10) определяется краевой угол Θ для твердых частиц, имеющих сферическую форму согласно рис. 1,6 и рис. 1,а.

Используя приведенную методику, легко можно найти угол для случая двух сфер разных размеров.

Вывод: Таким образом, получена математическая модель, связывающая равновесный краевой угол смачивания с геометрией контактирующих сферических частиц и наличием жидкостной прослойки между ними, а также произведен анализ модели на предмет соответствия ее физическим представлениям о капиллярном взаимодействии различных по характеру кривизны поверхностей. При Θ<200 изменение размеров частиц слабо влияет на изменение Θ.

 

In the article influence of curvature of bodies on a wetting angle of watering Θ is investigated. The system a solid body-liquid-gas is considered. Versions of cohesion both similar particles, and particles with a plane are considered. The mathematical model connecting an equilibrium boundary angle of wetting with geometry of contacting spherical particles and presence of a liquid interlayer between them is obtained, and also the analysis of model is produced for correspondence to its physical representations about capillary interaction various on character of curvature of surfaces

 

1.  Вегман Е.Ф. Окускование руд и концентратов. Изд. Металлургия 1984.

2.      Современная  теория  капиллярности.   Под  ред.   А.И.   Русанова,   Ф.И.Гидрича. - Л.: Химия, 1980, - 245с.

 

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Приложение положений теории дросселя и трансформатора к расчету и анализу электромагнитом переменного тока.