Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 681.518.5

ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА РЕШЕТЧАТОЙ СТРУКТУРЕ

Орлов В.В.

В системах диагностики и идентификации систем широко используется параметрическое описание стационарных случайных процессов на основе ковариационной матрицы или в виде модели авторегрессии (АР-модель) [1,2]. При этом оптимальные алгоритмы обнаружения и распознавания основаны на измерении и преобразовании ковариационной матрицы, что требует большого числа вычислений.

Для анализа спектральных характеристик процессов в настоящее время широко применяются экономичные методы на решетчатых структурах [3], позволяющие перейти от оценивания  параметров ковариационной матрицы к использованию  значений вектора авторегрессии или коэффициентов отражения решетчатой структуры (РС). В тоже время, на базе решетчатых фильтров не решены задачи обнаружения и распознавания процессов, имеющих малый временной интервал стационарности, а также отсутствует анализ их эффективности по вероятностным критериям в случае малого числа выборок. В связи с этим, представляет интерес разработка экономичных подоптимальных алгоритмов принятия решений по множеству выборок на интервале стационарности исследуемого процесса.

В работе проводится разработка и исследование эффективности экономичного по вычислительным затратам алгоритма обнаружения – распознавания на основе анализа параметров случайных процессов.

Для этого предварительно рассматриваются алгоритмы построения для задачи обнаружения нормальных стационарных процессов, а затем исследуется возможности их реализации для распознавания многих классов.

1. Модели входных процессов и параметрические алгоритмы обнаружения.

Пусть входной процесс, представляющий собой аддитивную смесь  выборок помехи  и сигнала , в случае гипотез об отсутствии  и наличии  полезного сигнала имеет вид

 

; , ,                                                     (1)

 

которые определяются соответственно ковариационными матрицами размера  помехи , сигнала  и смеси сигнала с помехой

 

.                                                         (2)

 

В соответствии с (1)и (2) алгоритм обнаружения сигнала по  исследуемым выборкам заключается в сравнении с порогом решающей статистики, являющейся мерой различия ковариационных матриц входных процессов [4], оцениваемой  и априорно задаваемой

 

,                                         (3)

где  – операция определения следа матрицы;  ,  – векторы размера  исследуемых выборок; – пороговый уровень обнаружителя.

Плотность распределения вероятностей решающей статистики (3) подчиняется  распределению с  степенями свободы, что позволяет легко рассчитать вероятности превышения порога в отсутствии и при наличии сигнала.

            Если входной процесс соответствует модели авторегрессии

 

,                                                          (4)

 

где – отсчеты некоррелированного шума, тогда  – коэффициенты авторегрессии (4) связаны с ковариационной матрицей  соотношением

 

                       (5)

 

В качестве решающей статистики, по аналогии с (3), используется норма разницы векторов авторегрессии

 

.                                       (6)

 

В отличие от первого алгоритма (3), для (6) требуется оценивать не , а лишь  параметров исследуемого процесса, что не только упрощает реализацию, но и должно повысить скорость сходимости алгоритма при ограниченном числе исследуемых выборок.

Если принять оценку параметров авторегрессии как достаточную информацию для принятия решений, то различие параметров известного и наблюдаемого процессов используется для обнаружения, а близость измеренных параметров авторегрессии к одному из классов известных процессов применяется для распознавания классов. Заметим, что процедура оценивания АР-модели -ого порядка связана с необходимостью измерения и обращения ковариационной матрицы исследуемого процесса, в связи с чем требуется вычислительных затрат около  операций умножения и сложения.

Дальнейшее уменьшение вычислений достигается при постоянном интервале дискретизации за счет применения решётчатой структуры, коэффициенты отражения  которой однозначно связаны с АР-параметрами рекуррентными соотношениями Левинсона-Дербина [2]

 

; ;      ;                            (7)

; ; .

 

 Тогда оценка АР-модели -ого порядка (5) трансформируется в оценку коэффициентов  (7) РС. Существует несколько алгоритмов оценивания в зависимости от априорных сведений о наблюдаемом процессе, стационарности, учета ошибок предсказания и т.п. [2]. Так как обрабатываемые процессы каждой ступени РС порождены одним стационарным процессом, и мощности обоих входов каждого звена РС одинаковы, то представляется целесообразным применение максимально правдоподобных оценок коэффициента корреляции

 

,                                           (8)

 

где  – обрабатываемые процессы на  -ой ступени РС.

            2. Разработка квазиоптимального алгоритма.

Представляет интерес упрощенный алгоритм принятия решения на каждой ступени РС, а затем логическое объединение этих решений. В соответствии с этим положением, при проверке гипотезы  о наличии процесса с коэффициентами отличными от задаваемых коэффициентов помехипротив альтернативы  о его отсутствии определим квазиоптимальный алгоритм обнаружения при пороговых значениях  каждой ступени РС :

–          принимается гипотеза об отсутствии сигнала, если оценки коэффициентов отражения ниже пороговых;

–          принимается гипотеза о наличии сигнала отличительного от априорно задаваемого, если хотя бы на одной из ступеней имеет место существенное различие измеряемых коэффициентов РС от априорно задаваемых

 

 для всех ;                                                    

 для любого из .                                            (9)

 

Решающая статистика обнаружителя, реализующего (9), имеет вид

 

,                                                  (10)

 

где  – единичная функция, отличная от нуля при >1.

Для задачи распознавания принимается решение о наличии  -ого из  классов, если минимизируется решающая статистика

 

.                                                (11)

 

Структурная схема обнаружителя–распознавателя в соответствии с (10), (11), приведенная на рис.1, реализуется на основе РС, состоящей из  измерителей коэффициентов корреляции, 2 умножителей и 2 сумматоров. Заметим, что при распознавании  процессов достаточно иметь одну решетчатую структуру. Операция обнаружения или распознавания дополнительного класса приводит к добавлению лишь  логических операций сравнения, что не вызывает существенного увеличения вычислительных затрат.

 

Рис.1 Алгоритм обнаружения-распознавания  классов

3. Анализ эффективности квазиоптимального алгоритма.

Для выявления особенностей оценок коэффициентов отражения рассмотрим результаты статистического моделирования РС. Исследования проводились на примере двух процессов, один из которых представляется “белым” шумом=0, другой – коррелированным процессом с гауссовой формой спектра и первым коэффициентом корреляции, где =0,9, . Из приведенных значений оценок коэффициентов отражения  первых трех ступеней (Рис.2а, Рис.2б, Рис.2в), полученных при размере выборки =6, видно, что на последующих ступенях происходит сближение кластеров этих процессов, в связи с чем существуют ограничения на выбор РС большого размера. Из анализа Рис.2 следует, что при малом числе выборок, сравнимом с размером РС, использование ступеней >3 не всегда целесообразно.

 

                                    а)                               б)                                в)        

Рис.2 Ансамбли оценок коэффициентов отражения

Для анализа эффективности адаптации алгоритма в условиях конечного числа обучающих выборок рассмотрим его вероятностные характеристики.

Исследовать распределение решающей статистики (9) можно на основе вероятностных характеристик оценок коэффициентов отражения (8) ступеней РС  и , зависящих от интервала наблюдения . Для случайных процессов, подчиняющихся нормальному закону распределения, в [4] получена плотность вероятностей максимально правдоподобной выборочной оценки (8) коэффициента корреляции

 

        (12)

 

где  - гипергеометрическая функция.

            Вероятности принятия гипотезы о наличии процесса с заданным коэффициентом отражения  определяется интегрированием плотности (12) в пределах от до . В частном случае, для задачи обнаружения неизвестного коррелированного сигнала на фоне белого шума (Рис.2) априорно задаваемые коэффициенты отражения шума равны нулю, в связи с чем достаточно на каждой ступени РС сравнить с порогом модуль коэффициента корреляции. При этом вероятности ложной тревоги  и правильного обнаружения  каждой -ой ступени РС и результирующие  и  определяются выражениями:

 

                                       (13)

                                                (14)

 

При необходимости обеспечения равных ложных тревог  на ступенях РС выражения упрощаются

 

                                                                                 (15)

 

В случае коррелированной помехи, а также при распознавании процессов, необходимо проводить интегрирование в области . Затем на основе (13-15) определяются ошибки обнаружения и классификации.

            Рассмотрим эффективность обнаружения на примере полезного случайного процесса на фоне мешающего процесса с гауссовыми формами спектров и различающимися первыми коэффициентами корреляции, оцениваемых по выборке малого размера, составляющей  =16 отсчетов исследуемого интервала. На рисунке 3 изображены результаты расчетов вероятностей ошибок и правильных решений.

На Рис.3а приведены зависимости вероятности ложной тревоги от порогового уровня для различных первых коэффициентов корреляции =0..0,65. Анализ графиков показал, что при высоких требованиях к вероятности ошибки , эффективность существенно зависит от корреляционных свойств исследуемого процесса и с уменьшением коррелированности до белого шума вероятность ложной тревоги может возрасти на порядок и более. На Рис.3б представлены зависимости вероятности  правильного решения для случая =2 классов. На входе присутствуют сигналы первого класса в диапазоне первого коэффициента корреляции =0,5 .. 0,75, а отсутствуют сигналы 2-го класса, представленные слабо коррелированной помехой=0,25. Как видно, даже для коротких выборок при различии коэффициентов корреляции на 0,35 и более существуют возможности обнаруживать и распознавать случайные процессы с небольшими интервалами стационарности.

 

                                                а)                                            б)                                          

Рис.3 Вероятностные характеристики квазиоптимального алгоритма

Заключение

Исследованы взаимосвязи параметров моделей стационарных процессов и рассмотрены соответствующие им алгоритмы обнаружения - распознавания.

Разработан простой обнаружитель – распознаватель на основе решетчатой структуры, требующей  измерителей коэффициентов корреляции,  умножителей и  сумматоров. При распознавании M процессов достаточно иметь одну решетчатую структуру, а для распознавания дополнительного класса достаточно добавление лишь  логических операций сравнения, что не вызывает существенного увеличения вычислительных затрат.

Анализ адаптации предложенного алгоритма показал возможности обеспечивать приемлемые ошибки обнаружения и распознавания для процессов с малым временем стационарности, когда число выборок не менее чем в 4 раза превышает порядок модели авторегрессии.

 

The opportunities of economic realization of deciding statistics for detection and recognition of a stationary signal from the unknown by a covariance matrix are considered. It is shown, that the application of lattice structures allows reducing the quantity of calculations. The influence of the training extracts' number on the effectiveness of the useful signal detection is carried out.

 

1. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. –М.: Мир, 1990. –584 с., илл.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. –М.: Физматгиз, 1963. – 500 стр. с илл.

3. Фридландер Б. Решетчатые фильтры для адаптивной обработки данных // ТИИЭР, т.70, № 8, 1982. –C.54–94.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. Пер.с англ. –М.: Мир, 1976. – 756с., илл.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.