Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 621.316

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Шеховцов А.Н., Козел В.Н.

При построении распределенных систем обработки информации возникает вопрос о распределении нагрузки между основными устройствами обработки информации. Построив модель движения информации относительно устройств обработки и определив основные параметры  данного устройства, возможно построение системы с оптимальными параметрами, по нагрузке, времени обработки и др. Информационная модель наглядно демонстрирует систему взаимодействия между пакетами информации и позволяет определить, какую роль выполняет тот или иной пакет информации. Так же можно проследить взаимосвязь входных и выходных пакетов информации.

Однако информационная модель не дает в полном объеме представление о системе в целом, в связи с чем необходимо построить математическую модель системы,  помощью которой можно получить основные характеристики системы при различных условиях.

Информационные потоки обладают следующими характеристиками: плотность потока требований; время, затрачиваемое на обслуживание одного документа; объем передаваемой информации и др.

На первом этапе необходимо определить взаимосвязь вершин ориентированного графа движения информационных потоков  и обслуживающих устройств. Таким образом, каждое обслуживающее устройство  ei представляет собой множество E, состоящее из пакетов информации aij, которые проходят через данное устройство обслуживания непосредственно[1].

 - множество устройств обслуживания

 - множество пакетов информации, принадлежащие устройству обслуживания.

Поскольку каждая вершина графа представляет собой пакет информации  zi=aji , тогда выражение  можно представить в виде .

В конечном итоге получим ориентированный граф движения информации и взаимосвязь устройств обслуживания с пакетами информации (Рисунок 1).

Рис. 1 Граф-схема взаимосвязи информационного графа
с устройствами обслуживания

Ребра ориентированного графа определяют перемещение данных из одного пакета информации в другой, а любое движение информации характеризуется следующими основными свойствами: интенсивность поступления, объем, время переноса данных. Таким образом, каждой вершине графа принадлежит множество перемещаемых данных . На основании граф-схемы представленной на рисунке 1 строим схему движения потоков информации относительно устройств обработки (Рис.2).

Определяем интенсивность,  объем и время обработки для каждого uij, данные заносим в  таблицу 1.

 

Рис. 2 Схема движения потоков информации относительно устройств обработки

 

Таблица 1

№ п.п.

Обозначение

Интенсивность

Кол/час

Время обслуживания

Мин

Объем

Байт

1.                  

uij

li

tобсл

W

2.                  

 

Основные задачи теории массового обслуживания - нахождение вероятностей различных состояний систем массового обслуживания (СМО), а также установление зависимости между заданными параметрами и характеристиками работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться:

-       среднее число заявок А, которое обслуживает СМО в единицу времени;

-       вероятность обслуживания поступившей заявки Q (относительная пропускная способность СМО)

-       вероятность отказа Ротк , т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена

-       среднее число заявок в СМО (которые обслуживаются или ожидают своей очереди) z;

-       среднее число заявок в очереди r ;

-       среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или        под обслуживанием) tсист;

-       среднее время пребывания заявки в очереди tоч;

В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стационарному.

Для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков и обслуживании) справедливы формулы [2]:

1) среднее время пребывания заявки в системе

(1)

2) среднее время пребывания заявки в очереди

(2)

Экспоненциальные модели основаны на предположении о том, что потоки заявок, поступающие в систему, являются пуассоновскими, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.[3]

Для таких систем получены точные методы для определения их характеристик; трудоемкость получения решения зависит в основном от размерности системы. [2] Для построения модели, описывающей функционирование системы необходимо ввести ряд упрощающих предположений.

Предположение о независимости устраняет зависимость между временами обслуживания в каналах и состоит в том, что длина пакета, поступающего в i-тый канал, выбирается независимо в соответствии с плотностью распределения

(3)

где 1/l - средняя длина пакета, измеряемая в битах.

Процесс поступления пакетов в систему является пуассоновским с параметром Lr (пакетов/с), где r - номер пары «узел-источник» - «узел адресат». Все пары упорядочены в соответствии с номерами 1,2,..., R. Маршрут пакетов r-го класса (передаваемых в r-й паре источник-адресат) определяется матрицей ||Pij ( r )||, где Pij ( r ) - вероятность того, что пакет r-о класса, закончивший обслуживание в i-м канале, поступит потом в j-й канал (i,j=1,M ).

В рассматриваемой модели будем предполагать, что очередь не ограничена и подтверждение об успешной обработке пакета передается мгновенно. 

Сделанные предположения позволяют определить проектируемую систему, как открытую неоднородную сеть массового обслуживания, моделирующую функционирование системы. В такую СеМО поступают r классов пуассоновских потоков пакетов с интенсивностью Lr, маршрут каждого из которых характеризуется матрицей ||Рij(r)|| Функция распределения длительности обслуживания пакетов r-го пасса в i-м центре СеМО, который моделирует соответствующий канал, является экспоненциальной с параметром mir (пакетов/с).

Интенсивность потока пакетов класса r, поступающих в i-й канал lir удовлетворяет уравнению баланса потоков:

(4)

Общий поток пакетов, поступающих в i-й канал lir и извне в сеть L, равен соответственно:

(5)

(6)

Обозначим через rir загрузку i-го канала пакетами r-го класса и ri общую загрузку канала i:

(7)

(8)

Одноканальные СМО с неограниченной очередью можно представить в виде графа состояний, который представлен на рисунке 3.

 

Рис. 3   Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью

 

S0 – СМО свободна

S1 – канал занят, очереди

S2 – канал занят, одна заявка в очереди

Sk – канал занят, k-1 заявок в очереди

Финальные вероятности состояний [5]:

(9)

 (k=1,2,…)

(10)

(11)

Характеристики эффективности СМО с учетом выше представленных формул

            A=l,  Q=1, Pотк=0

(12)

(13)

(14)

(15)

Вероятность того, что обслуживающий канал занят:

(16)

Многоканальные СМО с неограниченной очередью можно представить в виде графа состояний которой представлен на рисунке 4. На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью l, время обслуживания одной заявки – показательное с параметром m.

Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО:

S0 – СМО свободна;

S1 – занят один канал;

Sk – занято k каналов;

Sn – заняты все n каналов;

Sn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

Sn+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Рис. 4 Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

 

Финальные вероятности состояний выражаются формулами [2]:

(17)

;

(18)

(19)

Проведя анализ полученных значений, можно сделать заключение о работоспособности системы в целом, получить загруженность каждого устройства обработки и определить вклад каждого устройства в работоспособность системы. Также получить следующие характеристики системы: загрузка устройств, максимальную длину очереди заявок ожидающих обслуживание, количество обработанных заявок, среднее число занятых каналов. Используя систему предпочтений относительно характеристик эффективности СМО, возможно построение системы с оптимальными параметрами, заданными на начальном этапе. На основании результатов моделирования возможна оптимизация системы, корректировка структуры для повышения производительности и надежности системы.

 

In this article the algorithm of construction of mathematical model is offered on the base of the oriented count and theory of mass service for a construction the distributed processing of information the streams of information circulate in which. Main descriptions of the one-channel and multichannel queuing systems are resulted. Basic results and conclusions are resulted.

 

1.                  В.Н. Козел Методика преобразования информационных потоков в ориентированный граф, ВЕСТНИК ХГТУ №1(14), 2002г. Стр.527-528

2.                  Вентцель Е. С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: - Наука,1991

3.                  Кузин Л.Т. Основы кибернетики. – М.: Энергия, 1979. – Т2. – 584с.

Евгенев Г.Б., Кобелев А.С., Борисов С.А. Технология экспертного программирования. Информационные технологии, №3, 2002, с.2 – 9





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Баранов Ю.В., Гречухин А.В., Гагарин В.В. Об одном методе построения нелинейной модели прогнозируемого процесса

Гасанов А.С. Алгоритм адаптивного определения математических моделей объектов с помощью гармонического анализа

Клименко П.Г. Математическая модель процесса сгущения красного шлама гли-ноземного производства

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Кирюшатова Т.Г. Математическое моделирование коллективной деятельности в иерархических системах управления.

Рябченко И.Н. , Свиридов С.А. , Белик Р.А. Математическое моделирование физических процессов, протекающих в системах подачи и распределения воды в нештатных ситуациях.

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Кириллов О.Л., Якимчук Г.С. Оптимальное управление технологическим процессом заполнения слабопроводящими заряжающимися жидкостями (СПЗЖ) замкнутых объемов.

Мороз В. В. R-D проблема и эффективность систем сжатия изображений.

Ускач А.Ф., Гогунский В.Д., Яковенко А.Е. Модели задачи распределения в теории расписания.

Песчанский А.И. Оптимальное техническое обслуживание двухкомпонентной параллельной системы с учетом наработки каждого элемента.

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Приложение положений теории дросселя и трансформатора к расчету и анализу электромагнитом переменного тока.