Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 621.372.54.001.5

 

ВОЗМОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ ЧАСТОТНО-ЗАВИСИМЫХ ВТОРИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

 

Усов А.В., Ситников В.С.

 

Введение. При разработке систем управления высокие требования предъявляются

к  точности  реализации  характеристик,  составляющих  их  элементов,  а  для  систем  рабо- тающих в реальном времени и к быстродействию элементов [1]. Современное состояние микропроцессорной техники позволяет приблизить их характеристики к идеальных.

Все устройства  системы  управления  можно  разделить  на  первичные  и  вторичные частотно-зависимые  преобразователи.  Под  первичными  преобразователями  будем  пони- мать устройства преобразования формы сигналов, а под вторичными – устройства преоб- разования одной системы величин в другую, которая связана с первой зависимостью

 

 

Y = FX ,

 

 

 

где  X, Y  - вектора входных и выходных величин;

F  - оператор преобразования.

К   числу   вторичных   преобразователей   можно   отнести   типовые   звенья   систем

управления,  фильтры,  фазовращатели,  интеграторы  и  дифференциаторы,  корректоры,

корреляторы и конвольверы и т.п. устройства.

В общем случае задача  синтеза по заданному  оператору  F  состоит в том, чтобы найти, такой оператор  FN  из класса операторов  G F , чтобы расстояние  r  между заданным  (идеальным)  оператором   F   и  новым  оператором   FN  было  бы  меньше  оценки r0  ³ 0 при входных воздействиях  x из множества  G x

 [3], то есть

r(F(x), FN (x)) £ r0 ,                                                                           (1)

 

 

F(x) ΠG F , FN (x) ΠG F , x ΠG x , r0 ΠR .

 

 

При заданных входных воздействиях и реакции системы задачу синтеза оператора FN   можно свести к задаче определения оптимальной линейной системы или к задаче линейного оценивания (или как к важному случаю линейного оценивания - к синтезу опти- мального  фильтра)  [4].  Использование  теории  оптимальных  систем  или  оценивания  по- зволяет найти направление поиска наилучшего оператора или вида преобразования.

 

Пусть имеется два вероятностно связанных процесса x(t) и  h(t) и требуется оценить некоторый функционал

 

 

 

 

g(t) = Tx[x(t)]                                                                                                                                                                          (2)

 

 

 

 

первого  процесса  по  доступному  наблюдению  второго  процесса  h(t).   Требуется  найти оценку

 

 

 

 

 

~g (t) = Th[h(t)] ,

 

 

 

 

 .которая должна быть получена на основе наблюдения значений процесса  h(t) в некоторых точках t = u , образующих на временной оси некоторое множество  I : u ΠI .

 

При решении задачи предполагается заданными: преобразование Tx , т.е. величина, подлежащая  оценке;  все  необходимые  вероятностные  характеристики  процессов  x(t)  и h(t) ; данные наблюдений  h(u) ,  u ΠI .

Для решения необходимо выбрать критерий оптимальности оценки и ограничиться видом  преобразования  Th ,  т.е.  классом  допустимых  операций  над  располагаемыми  данными  h(u) .

 

 

 

В  качестве  минимизируемой  меры  отклонения  характеристики  устройства  от  заданной в общем случае используется  p -норма ошибки. Такая норма  Lp (e)  для функции e(t) = g(t) - ~g(t) , определенной на интервале [a, b] , рассчитывается следующим образом:

При p = 2  норма  L2  пропорциональна среднеквадратическому значению функции e(t) ,  а  при p ® ¥  норма  L¥ дает  максимальное  по  модулю  значение  функции  на  рассматриваемом интервале. Поскольку корень  p -й степени при любом  p  является монотонно возрастающей функцией, то при расчете минимизируемой величины его можно не вычислять.

Для линейной задачи оптимальной фильтрации случайных стационарных некоррелированных процессов при критерии оптимальности в виде минимума среднего квадрата  ошибки

 e2  = M{e(t)2}  получено решение для комплексной частотной характеристики оптимального фильтра [4]

где Ss , Sn  - спектральные плотности сигнала и шума.

Математическое ожидание квадрата ошибки при этом имеет минимальное значение равное

 

 

 

Полученные соотношения соответствуют физически не реализуемому оптимальному фильтру, однако физически реализуемый фильтр не может дать меньшей среднеквадратической  ошибки

 ,  т.к.  условия  физической  реализуемости  сужают  возможности выбора оптимальной характеристики фильтра.

Рассмотренные задачи оценивания и фильтрации в работах Винера Н., Колмогорова  А.Н.,  Бутона  Р.К.,  Заде  Л.А.,  Рагазини  Г.Р.,  Пугачева  В.С.,  Тихонова  В.И.  позволяют получить  представление  к  частотных  характеристиках  вторичного  частотно-зависимого преобразователя [4].

 

Таким образом, для упрощения синтеза  FN  необходимо провести анализ частотных характеристик желаемого устройства, которые могут быть получены разными путями: на основе оптимальных методов, а также на основе анализа работы преобразователя.

В теории автоматического регулирования для получения достаточно хорошего приближения к желаемой характеристике вводится корректирующее устройство или корректирующая связь так, чтобы остаточные искажения частотных характеристик были минимальными в соответствии с установленным показателем погрешности, обеспечивая устойчивость устройства при минимальном составе аппаратных средств [5].

Известно, что корректирующее устройство может быть введено последовательно, параллельно, а также в местной или в главной обратной связи. Введение параллельной корректирующей связи эквивалентно охвату остальных элементов системы местной обратной связью. Поэтому выбор той или иной схемы определяется удобством и возможностями технической реализации.

В зависимости от вида включения корректирующих устройств используются формулы пересчета передаточных функций [5]. Однако они не позволяют непосредственно определить передаточную функцию корректирующего устройства, поскольку при этом либо нарушается условие физической реализуемости, либо передаточная функция корректирующего устройства оказывается слишком сложной.

Для приближенного определения корректирующих устройств можно использовать методы синтеза с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ). Однако приближенная реализация корректирующих устройств может привести к существенному изменению вида желаемой передаточной функции. Поэтому при изменении параметров и структуры корректирующих устройств невозможно определить,

к каким отклонениям от желаемой ЛАЧХ это изменение приведет.

Дискретную коррекцию можно рассмотреть как решение задачи определения вход- ного сигнала по копии выходного сигнала или как решение задачи коррекции частотных характеристик.

В первом случае по выходному сигналу при известной характеристике устройства определяется входной сигнал. Этот метод известен как метод обращения свертки. Недос- татком метода является необходимость выполнения процедуры обращения свертки для каждого входного сигнала с использованием регуляризации решения по Тихонову [6], что требует больших затрат машинного времени. Точность решения задачи сильно зависит от длины реализации выходного сигнала и величины отношения сигнал/шум.

Во втором случае для улучшения характеристик устройства используется коррекция с помощью дискретных (цифровых) фильтров рекурсивной или нерекурсивной структуры, которые могут быть реализованы как программно, так и аппаратно. Коэффициенты фильтра при этом рассчитываются однократно при тестировании или оптимизации устройства, либо настраиваются адаптивно.

Таким образом, на основе выше изложенного можно перейти к улучшению частот- ных  характеристик  и  решая  задачу  аппроксимации  определить  передаточную  функцию желаемого устройства.

Постановка  задачи.  На  основании  (1)  необходимо  определить  требования  к  частотным характеристикам элемента. В этом случае в классе операторов  GF  можно выделить  элементарный  оператор  F⁰_N ,  который  не  удовлетворяет  условию  (1),  но  в  первом приближении отвечает требованиям к одной из частотных характеристик. Коррекция элементарного оператора F⁰_N оператором FK   дает возможность выполнить условие (1), за счет использования оператора  FK более низкого порядка, чем  FN и получить  FN в виде комбинации соединений  F⁰  и  FK .

Следует отметить, что если при синтезе заданы требовании на АЧХ устройства при неконтролируемой ФЧХ (возможно и наоборот), то  p -норма ошибки   eАЧХ (w) будет определяться как

                                                                                                                                                                                                                  (3)

 

где  H(w) - заданная (желаемая) АЧХ, H N (w) - АЧХ синтезируемого устройства, m(w)  - неотрицательная вещественная весовая функция.

 

Использование весовой функции m(w) позволяет придать разную значимость различным участкам частотной оси. Например, с ее помощью можно задать переходные зоны, поведение АЧХ в которых не задается.

При необходимости контролировать и АЧХ и ФЧХ устройства, норма ошибки будет рассчитываться через комплексные значения коэффициента передачи устройства

 

 

                                                                                                                                                                                                                 (4)

 

 

 

 

где H( jw) -  заданный  (желаемый)  комплексный  коэффициент  передачи, H N ( jw) -  комплексный коэффициент передачи синтезируемого устройства.

В большинстве случаев задача минимизации функций (3) и (4) не имеют аналитического решения, поэтому переходят к итерационным численным методам [7]. Исключение  составляет  синтез  нерекурсивных  структур  цифровых  вторичных  преобразователей при p = 2 , когда рассматриваемая оптимизационная задача приводит к системе линейных алгебраических  уравнений  относительно  коэффициентов  передаточной  функции.  При этом если весовая функция  m(w) = 1, то коэффициенты передаточной функции представляют собой коэффициенты разложения заданной частотной характеристики в ряд Фурье. Минимизация  среднеквадратической  ошибки  приводит  к  появлению  больших  выбросов АЧХ при попытке аппроксимировать ее скачкообразное изменение (эффект Гиббса).

 

Следует  отметить,  что  при p ® ¥ рассматриваемая  норма  ошибки  стремится  к максимальному  абсолютному  отклонению  характеристики  от  заданной.  Минимизация этой нормы соответствует минимаксной аппроксимации и позволяет получить АЧХ уст- ройства с равномерной пульсацией (аппроксимация многочленами Чебышева).

На основе выше сказанного определим передаточную функцию линейного цифро- вого частотно-зависимого вторичного преобразователя (ЛЦЧЗВП) минимального порядка вида

                                                                                                                                                              (5)

по заданным в диапазоне рабочих частот

 w Î[ w0 , wd ] ,

 w = wT Î[0, p]  АЧХ

 H( w)

 и ФЧХ

 

j( w)  такую, чтобы погрешности аппроксимации АЧХ и ФЧХ были не более  D  и  q

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           (6)

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       (7)

 

 

 

где  T  - период дискретизации.

Получение  передаточной  функции H N (z) по  заданным  частотным  характеристи кам приводит к задаче аппроксимации, которая сводится к определению коэффициентов a i   и  b j  передаточных функций H N (z) по заданным требованиям к их характеристикам.

Поэтому  в  общем  случае  задачи  аппроксимации  бывают  двух  типов  [3]:  аппроксимация только  одной  характеристики  (АЧХ  или  ФЧХ),  при  этом  вторая  характеристика  не  кон- тролируется и во втором случае аппроксимация обеих характеристик. Погрешности, кото- рые  возникают  при  ограниченном  количестве  разрядов  и  форме  реализации,  обычно  не учитываются.

Решение  задачи  аппроксимации  второго  типа  для  дробно-рациональных  переда- точных  функций  цифровых  устройств  осложняется  невозможностью  перейти  к  эквива- лентной  линейной  задаче.  Поэтому  задача  определения  коэффициентов  передаточной функции, с учетом обеспечения устойчивости, является сложной задачей математического программирования с нелинейной целевой функцией и ограничениями.

Для  определения  такой  передаточной  функции  могут  быть  использованы  методы аппроксимации полиномами, изложенные в роботах Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Ланнэ А.А. [3].

На формирование АЧХ и ФЧХ цифрового устройства в передаточной функции (5) влияют  полиномы  числителя A(z) и  знаменателя B(z) .  Для  точного  воспроизведения частотных  характеристик  из  общего  числа  коэффициентов M + N + 1 необходимо  часть коэффициентов выделить для аппроксимации АЧХ, а другую их часть для аппроксимации ФЧХ.  Требования  к  частотным  характеристикам,  и  метод  решения  поставленной  задачи определяют  соотношения  между  количеством  коэффициентов,  которые  выделяются  для решения частных задач аппроксимации.

Рассмотрим возможные пути решения задачи.

1.  На  основе  численных  методов  или  алгоритма  работы  устройства  определяется передаточная функция H1(z) , все  M1 + N1 + 1  коэффициенты, которой используются для аппроксимации  АЧХ.  Для  заданной  ФЧХ  определяется  передаточная  функция  фазового корректора

где ck , c N 2 - k - действительные коэффициенты передаточной функции, у которого АЧХ равна единице на всей оси частот, а ФЧХ определяется из соотношения

 

 

 

 

 

При   каскадном   соединении H N (z) = H1(z)H 2 (z) можно   найти   такой   полином B0 (z) , при котором сумма j1 ( w) + j2 ( w) будет с заданной точностью  q  воссоздавать необходимую зависимость ФЧХ. В этом случае на решение задачи аппроксимации АЧХ отводится  M1 + N1 коэффициентов, а для аппроксимации ФЧХ -  N 2  коэффициентов, т.е. M1 + N1 + N2 + 1 коэффициентов ( M = M1 + 1; N = N1 + N2 ).Если  задача  аппроксимации  на  каждом  этапе  решается  наилучшим  образом,  то  в тцелом она может быть решена не оптимально. Поэтому необходим этап оптимизации частотных характеристик заданным требованиям.

2. Другой путь решения поставленной задачи начинается с определения передаточной функции вида  , где  c  - постоянное число, выбираемое по условию задания. Передаточная функция  H1(z)

 воспроизводит заданную ФЧХ устройства.

 

Для  воспроизведения  с  заданной точностью  заданной  АЧХ находят  полином  четной  степени  вида A(z) = B(z)B(z-1) .  Тогда  при  каскадном  соединении  передаточная функция  будет удовлетворять требованиям к частотным характеристикам устройства. В этом случае на аппроксимацию ФЧХ отводится  N  коэффициентов полинома  B(z) и  M + 1 - на аппроксимацию АЧХ, т.е.  M + N + 1 коэффициентов.

 

На  втором  этапе,  при  аппроксимации  заданной  АЧХ,  возможно  также  применить амплитудные корректоры. На конечном этапе следует провести оптимизацию частотных характеристик заданным требованиям.

3. На основе анализа этих путей при аппроксимации сложных или специфических требований к частотным характеристикам на разных участках рабочего частотного диапа- зона можно предложить обобщенный путь.

На первом этапе на основе численных методов или алгоритма работы устройства определяется  передаточная  функция H0  (z) элементарного  цифрового  устройства,  которая в первом приближении удовлетворяет условию (6). Для уменьшения количества подбираемых  коэффициентов  и  формирования  простых  передаточных  функций  порядка не более  L  рекомендуется использовать передаточные функции с линейными ФЧХ.

Следует  отметить,  что  при  этом  числитель  и  знаменатель  описываются  полиномами  с симметричными или антисимметричными коэффициентами  ck  = ±cL - k ,

 k = 1, L .

 

На втором этапе определяется требование к ФЧХ корректирующего устройства

 

 

jK (w) = j(w) - j0  (w) ,

 

 

 

осуществляется подбор вида соответствующей передаточной функции  HK (z) и ее коэффициентов.

 

Тогда каскадное соединение элементарного и корректирующего устройств  позволяет  на  основе  условий  (6)  и  (7)  определить  коэффициенты желаемой  передаточной  функции,  с  последующей  оптимизацией  полученных  частотных характеристик  заданным  требованиям  [8].  Для  упрощения  задачи  можно  использовать простые полиномы специального вида, например двучлены

 

 

 

 

их комбинации, а также степени двучленов [9].

 

Выводы. Задача синтеза дробно-рациональной передаточной функции при ограни- чениях  на  частотные  характеристики,  вид  и  порядок  передаточной  функции  является сложной  и  неоднозначной  задачей.  В  основе  ее  решения  предложено  использовать  эле- ментарное устройство каскадно-соединенное с корректирующим устройством.

Варианты решения этой задачи зависят от специфических требований предъявлен- ных к частотным характеристикам ЛЦЧЗВП, что обуславливает ее поэтапное решение. На первом этапе рекомендуется использовать полиномы с симметричными или антисиммет- ричными коэффициентами, а на втором этапе воспользоваться амплитудными  или фазо- выми  корректорами.  При  необходимости  может  быть  использовано  обобщенное  коррек- тирующее устройство.

Данная последовательность действий позволяет уменьшить трудоемкость вычислительной процедуры, получить относительную легкость коррекции отдельных требований и ускорить получение результата.

 

 

1.             Бесекерский  В.А.,  Изранцев  В.В.  Системы  автоматического  управления  с микро-ЭВМ. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

2.             Ситников  В.С.  Анализ  путей  уменьшения  погрешностей  цифровых  уст- ройств с фиксированной точкой // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические ком- плексы и системы (ААЭКС). – Херсон, 2004. - № 1(13). – С. 150-157.

3.             Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. – М.: Радио и связь, 1985. – 312 с.

4.             Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. – 624 с.

5.             Иванов  В.А.,  Ющенко  А.С.  Теория  дискретных  систем  автоматического управления. – М.: наука. 1983. – 336 с.

6.             Тихонов  А.Н.,  Арсенин  В.Я.  Методы  решения  некорректных  задач.  –  М.:Наука, 1986. – 288 с.

7.             Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.

8.             Ситников  В.С.  Анализ  критериев  оценки  частотных  характеристик  цифро- вых дифференцирующих фильтров для контура управления // Холодильна техніка і технологія. – 2003. - № 1(81). – С. 87-89.

9.             Малахов В.П., Ситников В.С., Литовченко Н.М. Определение условия кор- рекции  ФЧХ  дискретных  интеграторов  и  дифференциаторов  //  Збірник  наукових  праць УДМТУ. – Миколаїв, 2002. - № 1(379). – С. 107-113.