Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 621.372.54.001.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СРЕЗА УСТРОЙСТВА СГЛАЖИВАНИЯ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С.

Современные системы управления работают в сложных условиях, когда на входе системы действует не только полезный сигнал, но и помеха, свойства которой могут изменяться в зависимости от режимов и условий эксплуатации системы. В этих условиях применяют поэтапную обработку входных сигналов. Поскольку полезная составляющая входного сигнала системы управления в основном сосредоточена в низкочастотной части спектра входных сигналов, то в качестве первичной обработки входного сигнала на входе системы используют фильтры нижних частот низкого порядка [1].

При распределенной обработке сигналов первичную обработку по возможности осуществляют непосредственно у места получения полезного сигнала. Такая постановка задачи позволяет повысить точность датчиков, учесть их особенности и облегчить фильтрацию входных сигналов в системе управления [2].

Широкое распространение, в качестве первичной обработки входных сигналов, получил метод сглаживания скользящего среднего [3, 4]. Это, прежде всего, связано с его простотой описания и легкостью управления его свойствами.

Пусть на вход системы управления поступает конечная последовательность дискретных значений , , представляющая собой аддитивную смесь полезного сигнала  и помехи

 

.

 

Помеха  имеет случайную природу с неизвестным законом распределения на интервале  от 0 до частоты Найквиста. При этом случайная помеха  имеет нулевое среднее значение  и ее значения некоррелированы , , где  − знак математического ожидания [3, 5].

В этих условиях, когда действует широкополосная помеха , перекрывающая спектр полезного сигнала , применение фильтрации малоэффективно. Однако сглаживание позволяет оценить значения неизвестного зашумленного сигнала.

Алгоритм работы по методу скользящего среднего описывается уравнением нерекурсивного вида

,                                                                (1)

где        − оценка значений полезного сигнала ;

             − ширина окна алгоритма сглаживания (количество отсчетов для сглаживания);

             − значения входной последовательности.

В работе рассмотрена задача определения частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего.

Преобразование алгоритма нерекурсивной формы (1) к рекурсивной форме позволяет алгоритм (1) записать в виде [1, 3]

.                                                (2)

Применяя  − преобразование к разностному уравнению (2) получим передаточную функцию скользящего среднего

.                                                          (3)

Подстановка , где  - нормированная угловая частота,  позволяет определить комплексную передаточную функцию

,

где амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

,                                                        (4)

а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) , рис. 1

.                                                            (5)

 

а)

б)

 

Рис.1 Амплитудно-частотные а) и фазо-частотные б)
характеристики скользящего среднего при ,  и

 

Анализ свойств АЧХ и ФЧХ показывает, что при  скорость спада АЧХ и ФЧХ пропорциональны половине ширины окна сглаживания , т.е. с увеличением числа отсчетов, по которым осуществляется сглаживание, эффективность сглаживания возрастает. Увеличение ширины окна сглаживания  сужает основной лепесток АЧХ, однако уровень боковых лепестков существенно не уменьшается. Амплитуды боковых лепестков затухают обратно пропорционально первой степени частоте . Медленное затухание боковых лепестков ограничивает применение алгоритма сглаживания, когда требуется большое ослабление помехи в полосе задержания.

Следует также отметить, что устройство обработки на основе метода скользящего среднего имеет самый низкий уровень выбросов по фронту входного сигнала. Это позволяет сохранить характер входного импульса при наличии случайного белового шума. При обработке импульсных последовательностей реакция устройства от 0 до уровня максимальной амплитуды составляет величину равную , где  - период дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика с учетом того, что  может быть записана в виде

.

Первый нуль АЧХ  определяется функцией  в числителе, когда аргумент . Тогда частота первого нуля АЧХ  будет равна

 либо ,                                               (6)

где  − частота дискретизации, т.е. частота первого  нуля обратно пропорционально временной длительности окна сглаживания .

Частота первого нуля  определяет ширину первого лепестка АЧХ. Однако для управления свойствами устройства сглаживания по методу скользящего среднего необходимо знать частоту среза . С увеличением  частота первого нуля  и частота среза  смещаются в низкочастотную часть спектра, рис.1. В инженерной практике частоту среза  обычно определяют эмпирически на уровне половины частоты первого нуля, . Однако при таком значении частоты среза  эффективность устройства сглаживания на основе алгоритма скользящего среднего не очень высока, что обуславливает коррекцию этой частоты и соответственно ширину окна сглаживания .

Частота среза  на уровне  определяется при решении уравнения

.                                                                   (7)

Трансцендентное уравнение (7) не может быть точно решено в общем случае. Для его приближенного решения и получения оценки частоты среза  воспользуемся численными методами.

Для преобразования левой части уравнения (7) воспользуемся формулой Муавра-Лапласа [6]

,                        (8)

а также, применяя к (8) формулу бинома Ньютона получим

.                   (9)

Выделяя мнимую часть в (9), получим выражение для представления уравнения(7), учитывая, что выражения под знаком суммы являются полиномами относительно . Причем при  отношение . Корни этого полинома - нули , поэтому введем величину .

Тогда для описания левой части уравнения (7) получим соответственно выражения для четных значений :

                                       (10)

и для нечетных

                                                  (11)

Сделав замену , окончательно получим из уравнения (7) уравнение для численного решения соответственно для четных значений  и нечетных

                                 (12)

Выражения в (12) являются полиномами степени  относительно  для четных значений  и степени  относительно  для нечетных значений .

Так как полиноминальные уравнения произвольной степени не имеют аналитического решения, частота среза найдена  численно с помощью математического пакета. Расчеты проводились до  отсчетов. Значения частоты среза для отсчетов  от 3 до 10 приведены в таблице 1.

 


Таблица 1

Значения частоты среза  для

1

1.5708

2

0.9756

3

0.7153

4

0.5665

5

0.4695

6

0.4011

7

0.3503

8

0.3109

9

0.2795

10

0.2539

 

Абсолютная погрешность полученной численно частоты среза  и “теоретической”, т.е., показана на рис. 2.

 

 

Рис. 2 Абсолютная погрешность
численно полученной частоты среза  и “теоретической”

 

Следует отметить, что относительная ошибка  асимптотически стремится к , рис.3.

 

 

Рис. 3 Относительная погрешность
численно полученной частоты среза  и “теоретической”

 

Таким образом, в результате проведенной работы получены табличные значения для частоты среза , которые можно использовать для управления свойствами устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего. Анализ абсолютной погрешности показывает, что частота среза находится левее “теоретической”, равной .

ЛИТЕРАТУРА

1.                  Polomsky S. Das Digitalfilter // Elektronik, 1992, № 4 – p. 50-53.

2.                  Брус А.А., Ситников В.С. Линейное управление цифровым фильтром интеллектуального датчика // Тези доповідей IV міжнар. наук.-техн. конф. “Датчики, прилади та системи − 2008” – Черкасі-Гурзуф - (вересень2008 р) – С. 61-62.

3.                  Файзильберг Л.С. Адаптивное сглаживание шумов в информационных технологиях обработки физиологических сигналов. // “Математические машины и системы” – 2002, № 3. – С. 96-104.

4.                  Переверзев А.Л. Адаптивный цифровой фильтр на основе скользящего среднего // Известия вузов. Электроника – 2005, № 2. – С. 70-72.

5.                  Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. – М.: Радио и связь, 1985. – 312 с.

6.                  Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М. Наука, 1974.— 832 с.


 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Приложение положений теории дросселя и трансформатора к расчету и анализу электромагнитом переменного тока.