Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

 

УДК 681.3.06         

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Забытовская О.И.

Постановка задачи

Рассмотрена возможность получения функции полезности для набора сельскохозяйственной продукции на основе статистической отчетности по области за несколько лет исходя из предположения, что потребители при ограниченном бюджете поступали оптимально, т.е. реализовывали при выборе свою систему предпочтений, удовлетворяющую условиям однозначности, транзитивности, симметричности, выпуклости. [1,4]

Решение задачи

Использование функции полезности вместо отношения предпочтения удобно по ряду причин. Во-первых, теория, построена на функции полезности, приводит к хорошо известным результатам в экономике, которые трудно вывести только из отношения предпочтения. Во-вторых, рассуждения, построенные с помощью функции полезности, более понятны через построения на ее основе функции спроса. Через функцию полезности можно определить карту безразличия, предельные нормы замещения, предельную полезность каждого продукта, полный дифференциал функции полезности несет всю информацию об изменении полезности группы товаров. При построении функции полезности предполагают, что выполняется закон Госсена – закон убывания предельной полезности, что она дифференцируемая и матрица  образованная из вторых частичных производных является отрицательно определенной (функции полезности строго вогнута). Этим условиям удовлетворяют логарифмическая, мультипликационная, аддитивная и квадратичная функции полезности. Ход выводов и рассуждений для нахождения коэффициентов и параметров функций полезности и на основе их функций спроса вариационными методами [1,2,3] одинаков. Покажем это на примере квадратичной функции полезности, которая для двух товаров  и  имеет вид

 

                          (1)

 

Если имеется  годовых отчетов по реализации  товаров, то можно построить  двумерных функций полезности (соответственно  - трехмерных,  - четырехмерных и т.д.).

Очевидно предварительно нужно проанализировать матрицу корреляционных связей  товаров или матрицу корреляционных связей первых приращений этих товаров [1] и выбрать минимально необходимый набор функций полезности для получения функции спроса для всех товаров. Анализ корреляционной матрицы позволит сделать правильный выбор пар товаров и обеспечить значимость коэффициента  в формуле (1).

Для решения поставленной задачи необходимо выразить объемы прогнозируемых товаров в денежных единицах, этим неявно будет определен оптимальный выбор потребителя через его ограниченный бюджет , который может быть для двух товаров определен по формуле

 

       ,                                              (2)

 

где  - цены товаров  соответственно в год  или . Величины коэффициентов  функции полезности определим минимизируя квадратичную форму.

 

 

                                                  (3)

 

Решение задачи сводится к системе линейных уравнений относительно неизвестных ; величины  и  легко определяются при известном душевом потреблении товаров  и  и ценах  и  по годам [3,4,7].Минимизация сводится к решению системы уравнений:

 

           ,                                              (4)

 

которая может быть записана в виде системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

Для сокращения записи введем обозначения:

 

,   ;  

,  

 

тогда формула (3) будет иметь вид

 

                      (5)

 

а система (4) сводится к следующей системе нормальных уравнений:

 

       (6)

 

 

Отсюда по формуле Крамера найдем неизвестные коэффициенты для функции полезности :

 

, , , , ,

 

где  - определитель системы (6), ,  - определители, получаемые заменой соответствующего столбца определителя  столбцом . И функция полезности (1) для товаров  и  будет иметь вид

 

,                            (7).

 

где  - коэффициенты функции полезности, определяемы на основе экспериментальных данных по потреблению продуктов  и  на душу населения согласно [7]. Частичный анализ функции полезности включает прежде всего нахождение функций спроса на товары  и проверку адекватности найденных функций [6].

Последующие вопросы анализа, а именно:

-         определения реакции потребителя при изменении дохода;

-         определения эффектов замены и дохода на основании уравнений Слуцкого;

-         расчет коэффициентов эластичности товаров по доходу и ценам;

-         построение графиков:                      а) «доход-потребление» и Энгеля;

б) «цены потребление» и спроса;

проводятся в соответствии с задачами исследований. Для нахождения функций спроса на товары  и  воспользуемся условиями:

 

  

 

где  - предельная полезность денежной единицы. Для функции полезности (7)

 

получим                               

 

или

 

отсюда                               

   

 

                                            (8)

 

При  спроса на продукт  нет. Спрос на продукт  возможен при положительном числителе в формуле (8) и выполнении условия

                                                       (9)

 

       (10)

 

 

 

Спрос на продукт  равен нулю при  и положителен при положительном числителе в формуле (10) и выполнении условия (10).

 

 

                          (11)

 

Предельные полезности , как следует из условия Куна-Таккера, при  и  будут при

 

                          (12)

 

и при выполнении условия (9). Если при заданных ценах и бюджете получаем что одна из величин  или  оказывается отрицательной, то полученное решение не является допустимым набором благ, не говоря уже об его оптимальности.

Проверку адекватности найденной функции полезности для целей прогноза можно осуществить на основании первого соотношения для функции спроса [3,6], а именно

 

,               (13)

 

что для функций (8) и (10) сведется к проверке двух уравнений для функции спроса  и  [3,6]

 

                                        (14)

 

Аналогичные условия проверки адекватности можно получить при известных ценах на основе условий агрегации Курно [3,6].

 

 

 

 

Заключение.

Данные из статистических отчетов по душевому потреблению продуктов, их ценам и бюджету потребителя позволяют построить функцию полезности потребителя и, используя ее, найти функцию спроса и прогнозировать спрос на соответствующие товары.

 

The analysis of an opportunity of construction of function of utility on the accounting data on to the consumer, prices and budget of the consumer is given. The method of check of adequacy of functions of utility on functions of demand received from function of utility is considered.

 

1.                       Марасанов В.В., Забытовская О.И. Модель предметной области экспертной системы прогнозирования спроса. Херсон.: Вестник ХНТУ № 24, 2006г., с. 122-126.

2.                       В.В. Марасанов, О.И. Забытовская, Е.В. Щербина Использование энтропии при анализе систем с максимальной полезностью. Херсон.: Вестник ХНТУ № 24, 2006г., с. 127-131.

3.                       Гамецкий А.Ф., Соломон Д.И. Математическое моделирование микроэкономических процессов. Кишинэу: Штиинца, 1996г.

4.                       Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985г.

5.                       С.Сирл, У. Госман. Матричная алгебра в экономике. М.: «Статистика», 1974г.

6.                       Забытовская О.И. Изменение функции спроса потребителя при изменении цен и дохода при известной и неизвестной функции полезности. В сб. Проблемы информационных технологий №2, 2007г.

7.                       Статистичний щорічник (2002, 2003, 2004, 2005, 2006рр.) Херсонське обласне управління статистики.

 

 

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Григор'єв О.В., Селевко Г.О. Визначення "простих" властивостей та внутрішніх функцій у семіотичній моделі малого підприємства при розв'язанні задач кадрового ме-неджменту

Полякова М.В., Крылов В.Н. Обобщённые масштабные функции с компактным носителем в задаче сегментации изображений упорядоченных текстур. – C. 75 – 84.

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Клименко П.Г. Математическая модель процесса сгущения красного шлама гли-ноземного производства

Корниенко-Мифтахова И.К.,Филоненко С.Ф. Информационно-измерительная система для анализа характеристик динамического поведения конструкций.

Литвиненко В.И. Синтез радиально-базисных сетей для решения задачи дистанционного определения концентрации хлорофилла.

51 Математика

Дидык А.А., Фефелов А.А, Литвиненко В.И., Шкурдода С.В., Синяков Ф. В. Классификация масс-спектров с помощью кооперативного иммунного алгоритма

Кирюшатова Т.Г., Чёрный С.Г. Моделирование процессов распределения функ-ций персонала в управлении организацией.

Бабичева И.Ф., Шарко А.В. Использование нейросетевого классификатора в сис-темах дефектоскопии механических характеристик металлов.

Клименко А.К. О влиянии конструктивных параметров обратной модели на её устойчивость

Марасанов В.В., Забитовская О.И., Щербина Е.В. Энтропийные методы оптимизации гравитационных моделей.

Литвиненко В.И., Четырин С.П. Компенсация ошибок оператора в контуре управления следящей системы на основе синтезируемых вейвелет-сетей

Информационно-измерительные системы

Ковальов О.І. Вимірювання у процесно-орієнтованих стандартах

Полякова М.В., Ищенко А.В., Худайбердин Э.И. Порогово-пространственная сегментация цветных текстурированных изображений на основе метода JSEG

Дзюбаненко А. В. Организация компьютерных систем для анализа изображений

Гордеев Б.Н., Зивенко А.В., Наконечный А.Г. Формирование зондирующих импульсов для полиметрических измерительных систем

Богданов А.В., Бень А.П., Хойна С.И. Релаксация обратного тока диодов Шоттки после их магнитно-импульсной обработки (МИО)

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Проектирование измерителя добротности варикапов

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Оптимизированная модель измерителя доб-ротности варикапов

Руднєва М.С., Кочеткова О.В., Задорожній Р.О. Принципи побудови оптимальної структури інформаційно-вимірювальної системи геометричних розмірів об’єктів в діапазоні від 1 нм до 1000 нм

Биленко М.С., Рожков С.А., Единович М.Б. Идентификация деформаций пе-риодических структур с использованием систем технического зрения

Рашкевич Ю.М., Ковальчук А.М., Пелешко Д.Д. Афінні перетворення в модифікаціях алгоритму RSA шифрування зображень

Дидык А.А., Фефелов А.А, Литвиненко В.И., Шкурдода С.В., Синяков Ф. В. Классификация масс-спектров с помощью кооперативного иммунного алгоритма

Клименко А.K. Обратная модель для решения задач в системах с многосвязными динамическими объектами

Завгородній А.Б. Порівняльне дослідження твердотільних і рідиннофазних об'єктів методом газорозрядної візуалізації

Голощапов С.С., Петровский А.В., Рожко Ж.А., Боярчук А.И. Измерение доб-ротности колебательного контура на основе метода биения частот

Кириллов О.Л., Якимчук Г.С. Диагностирование критерия безопасности при заполнении замкнутых объемов СПЖ косвенным методом

Долина В.Г. Проблеми підвищення точності рефрактометра на основі прозорих порожнистих циліндрів.

Самков О.В., Захарченко Ю.А. Застосування алгоритму клонального відбору для побудови планів модернізації авіаційної техніки

Попов Д.В. Метод формування регламентів технічного обслуговування повітряних суден

Казак В.М., Чорний Г.П., Чорний Т.Г. Оцінювання готовності технічних об’єктів з урахуванням достовірності їх контролю

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Технические аспекты проектирования цифрового измерителя добротности варикапов

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Технические аспекты проектирования устройства для разбраковки варикапов по емкостным параметрaм и добротности

Сосюк А.В. Інтелектуальний автоматизований контроль знань в системах дистанційного навчання

Соколов А.Є. Деякі аспекти систезу комп’ютеризованої адаптивної системи навчання

Полякова М.В., Волкова Н.П., Іванова О.В. Сегментація зображень стохастичних текстур амплітудно-детекторним методом у просторі вейвлет-перетворення

Луцкий М.Г., Пономаренко А.В., Филоненко С.Ф. Обработка сигналов акустической эмиссии при определении положения сквозных дефектов

Литвиненко В.И., Дидык А.А., Захарченко Ю.А. Компьютерная система для решения задач классификации на основе модифицированных иммунных алгоритмов

Лубяный В.З., Голощапов С.С. Прямоотсчетные измерители расхождений емкостей

Беляев А.В. Построение навигации для иерархических структур в WEB-системах и системах управления WEB-сайтом

Терновая Т.И., Сумская О.П., Слободянюк И.И., Булка Т.И. Контроль качества тканей специального назначения с помощью автоматических систем.

Шеховцов А.В. Інформаційний аспект: розпізнавання образів індивідуума.

Полякова М.В. Определение границ сегмента упорядоченной текстуры на изображении с однородным фоном с помощью многоканального обнаружения пачки импульсов.

Литвиненко В.И. Прогнозирования нестационарных временных рядов с помощью синтезируемых нечетких нейронных сетей

Ковриго Ю.М., Мисак В.Ф., Мовчан А.П., Любицький С.В. Автоматизована система діагностики генераторів електростанцій

Браїловський В.В., Іванчук М.М., Ватаманюк П.П., Танасюк В.С. Керований детектор імпульсного ЯКР спектрометра

Шиманські З. Апаратні засоби сегментації мовного сигналу

Хобин В.А., Титлова О.А. К вопросу измерения парожидкостного фронта в дефлегматоре абсорбционно-диффузионной холодильной машины (АДХМ)

Фефелов А. А. Использование байесовских сетей для решения задачи поиска места и типа отказа сложной технической системы

Слань Ю. М., Трегуб В. Г. Оперативна нейромережна ідентифікація складних об’єктів керування

Ролик А.И. Модель управления перераспределением ресурсов информационно-телекоммуникационной системы при изменении значимости бизнес-процессов

Кириллов О.Л., Якимчук Г.С., Якимчук С.Г. Изучение электрического поля с помощью датчика измерителя электростатического потенциала на модели замкнутого металлического объема

Грицик В.В. Застосування штучних нейронних мереж при проектуванні комп’ютерного зору.

Гасанов А.С. Информационные технологии построения систем прогнозирования отказов

Шеховцов А.В., Везумский А.К., Середа Е.С. Алгоритм сжатия информации без потерь: модифицированный алгоритм LZ77

Ходаков В.Е., Жарикова М.В., Ляшенко Е.Н. Методы и алгоритмы визуализации пространственных данных на примере моделирования распространения лесных пожаров.

Полякова М.В., Крылов В.Н. Обобщённые масштабные функции с компактным носителем в задаче сегментации изображений упорядоченных текстур. – C. 75 – 84.

Полторак В.П., Дорогой Я.Ю. Система распознавания образов на базе нечеткого нейронного классификатора.

Литвиненко В.И. Синтез радиально-базисных сетей для решения задачи дистанционного определения концентрации хлорофилла.

Бражник Д.А. Управление совмещением изображения объекта в сцене и эталонного изображения.

Бабак В.П., Пономаренко А.В. Локализация места положения сквозных дефектов по сигналам акустической эмиссии.

Мороз В. В. R-D проблема и эффективность систем сжатия изображений.

Крылов В.Н., Полякова М.В., Волкова Н.П. Контурная сегментация в пространстве гиперболического вейвлет-преобразования с использованием математической морфологии.

Квасников В.П., Баранов А.Г. Анализ влияния дестабилизирующих факторов на работу биканальной координатно-измерительной машины.

Казак В.М., Гальченко С.М., Завгородній С.О. Аналіз можливості застосування імовірнісних методів розпізнавання для виявлення пошкоджень зовнішнього обводу літака.

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Управление коммутационными процессами в интегрированных сетях связи.

Корниенко-Мифтахова И.К.,Филоненко С.Ф. Информационно-измерительная система для анализа характеристик динамического поведения конструкций.

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Модель измерителя емкости с линейной шкалой измерений.

Полякова М.В., Крылов В.Н. Мультифрактальный метод автоматизированного распознавания помех на изображении.

Рожков С.О., Федотова О.М. Алгоритм розпізнавання дефектів тканин для автоматичної системи контролю якості.

Бражник Д.А. Использование проективного преобразования для автоматизации обнаружения объектов.

Ходаков В.Є., Шеховцов А.В., Бараненко Р.В. Математичні аспекти створення автоматизованої системи „Реєстр виборців України”