Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК621.01

СИНТЕЗ СТРОФОЇДОГРАФІВ

ЗА МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧНИХ СІМЕЙ

Бергер Е.Г., Дмитрієв Д.О., Бергер Є.Е., Діневич Г.Ю.

Механізми для відтворення заданої кривої знаходять широке розповсюдження в пристроях для обробки криволінійних поверхонь, вузлах машин-автоматів, маніпуляторах промислових роботів тощо [1, 2]. Їх синтез базується на принципі механічної реалізації графічних побудов даної траєкторії: схема побудов розглядається як геометричний аналог кінематичної схеми механізму. Для знаходження способу (схеми) побудов скористаємось методом [3], за яким крива F, задана рівнянням

визначається як геометричне місце точок перетину відповідних[1] кривих α і β, що належать однопараметричним сім'ям кривих

при умові, що виключення параметра t з (α) і (β) призводить до (1).

Як особливий випадок можна навести широко відомий в математиці приклад представлення кривої F параметричними рівняннями

де (α) і (β) – однопараметричні сім’ї прямих ліній, паралельних осям координат.

Точки перетину відповідних ліній сімей (2) або (3), побудованих при конкретному значенні t=t_i , належать до кривої F. Змінюючи t , одержуємо множину точок кривої F.

Розглянемо застосування цього методу на прикладах синтезу механізмів для відтворення кривої 3-го порядку F

відомою під назвою строфоїда.

Перше рівняння (α) вибираємо довільно в вигляді y=(a+x)t; підставивши це в (4), одержуємо

При цьому очевидно, що виключення параметру t з (α₁) і (β₁) призводить до рівняння (4).

Прийнявши за параметр t зміну величину t=tgφ, маємо

При змінному параметрі φ рівняння (α₁') виражає пучок прямих СМ_і (рис.1а) з вершиною С(-а,0); tgφ – змінний кутовий коефіцієнт цих прямих, а рівняння (β ₁') – сім’ю прямих А_іМ_і║Оу, які проводяться на відстані ON_i = a∙sinφ_i. Звідси випливають наступні способи побудов заданої кривої F (довільних її точок М_і):

1) Рис.1а. З точки С(-а,О) проводимо довільний промінь СМ_і пучка (α₁') і перпендикулярно до нього пряму ОВА_і . Якщо відкласти ОА_і = а, то пряма А_іМ_і║Оу буде належати до сім’ї (β ₁'). Дійсно, легко бачити, що ON_i = a∙sinφ_i , значить точка М_і перетину СМ_і і А_іМ_і належить строфоїді (4); змінюючи φ, будемо одержувати множину її точок.

Рис.1

Механічна реалізація цих побудов – заміна геометричних елементів їх механічними представниками (точки С, О, А – шарніри, В, N – повзуни, М – шарнірно зв’язані повзуни, прямі ОВА, АМ і СМ – кривошип, лінійка і куліса відповідно) дає кінематичну схему строфоїдографа за рис.1б.

2) Рис.2а. Під довільним кутом φ проводимо промінь СМ пучка (α₁') і паралельно йому на відстані а – пряму l-l, яка перетинає Оу в точці А. Перпендикуляр з А на СМ – визначає точку М, яка є точкою строфоїди. Дійсно, з рис.2а маємо КМ= a∙sinφ_i., тобто пряма NМ║Оу належить до сім’ї (β ₁'). Реалізація цих побудов виконується строфоїдографом, що подано на рис.2а. Модифікацією цього механізма (повзун М перенесено до шарніру С) є відомий механізм Неуберга-Лебо [1] – рис.2б.

Приймаємо далі рівняння першої сім’ї в вигляді y=t∙x... (α₂); з сумісного вирішення (α₂) і (4) рівняння другої сім’ї може бути подане в різних формах, наприклад:

Рис.2

При t=tgφ рівняння (α₂) виражає пучок прямих з вершиною О (на рис. 3, 4 показано один промінь ОА цього пучка з довільним кутом φ; промінь ОА має змінний кутовий коефіцієнт t=tgφ), а кожне з рівнянь (β _2.і) відповідно подає:

- (β _2.1) – сім’я прямих, які проходять через змінну точку N з координатами N(-а, a∙tgφ) перпендикулярно до променя ОА (кутовий коефіцієнт дорівнює -1/tgφ) – рис.3.

Рис.3

Рис.4

Перетин прямої NМ з променем ОА визначає точку М, яка належить строфоїді (рівняння 4). На рис.3а,б показано два способи побудов (відрізняються способом визначення точки N, тобто відкладання відрізка КN=a∙tgφ), реалізація яких виконується строфоїдографами Артоболевського [1].

— (β _2.2) – сім’я кіл постійного радіусу r=a із змінним центром С(О, a∙tgφ) – рис.4. Точка перетину кола з промінем ОА належить строфоїді (Бергер Е.Г. Авт.св.№190591, 1965 р.)

— (β _2.3) – сім’я прямих DM, що проводяться паралельно Оу на змінній відстані ОN, яка при довільному φ визначається за формулою ОN=х(1- tg²φ): (1+ tg²φ)=-а∙cos2φ; Таким чином, побудова потребує відкладення подвійного кута 2φ, значить до складу механізма повинен входити пристрій для подвоєння кута, наприклад, редуктор - рис.5 (Бергер Е.Г. Авт. св. №193735, 1967 р.).

Подвоєння кута можна виконувати також за допомогою ромбоїда OCBD (рис.6а); використання ромбоїда (замість редуктора) призводить до відповідної конструкції строфоїдографа за рис.6а (Бергер Е.Г., Табацков В.П., Діневич Г.Ю. Авт. св. №772898, 1980 р.).

Зауважимо, що в даному строфоїдографі фігура BCМD зберігає симетричність відносно діагоналі ВМ (значить і прямокутність кутів D і С) при будь-якому положенні механізма.

Рис.5

Рис.6

Звідси випливають дві модифікації цієї конструкції, наведені на рис.6 б,в. Першу одержано зміною ланки СВ на хрестовий повзун N, який забезпечує плоскопаралельне переміщення важеля ВМD (Бергер Е.Г. та ін. Авт. св. №628007, 1978 р.) – рис.6б. Другу схему одержано введенням замість важелю ВDМ прямокутного важеля ВСМ шарнірно встановленого у вершині С – рис.6в.

Як показують наведені приклади, розглянутий метод є досить ефективним засобом визначення схеми графічних побудов заданої кривої. такі задачі широко застосовуються в математиці (графіки функцій), в механиці (траєкторії руху тіл) і в теорії машин і механізмів (синтез напрямних механізмів).

В поєднанні з принципом механічної реалізації графічних побудов метод дає можливість одержувати різні кінематичні схеми напрямних механізмів, що дозволяє вибирати оптимальну за даними умовами роботи конструкцію.

При використанні високопродуктивних програм MATLAB, Maple та ін. геометрична модель метода, яка наведена в [3], дозволяє виконувати обчислення, візуалізацію та програмування в зручному середовищі для проектувальника [4].

Таким чином, метод відкриває додаткові перспективи в проектуванні напрямних механізмів як засобів автоматизації виробничих процесів.

1.                   Артоболевский И.И. Теория механизмов для воспроизведения плоских кривых.-М.АНСССР, 1959.-255с.

2.                   Бергер Э.Г., Табацков В.П., Бергер Е.Э. Геометрия формообразования криволинейных профилей. //Вестник ХГТУ, №3(9), Херсон, 2000.-С.224-226.

3.                   БергерЭ.Г., Литвиненко Е.Н., Гучек П.Н. Геометрическая модель обобщенного метода образования кривых. // Сб. Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности. С.-Пб., 2000. –с.31-34.

4.                   Потемкин В.В. Matlab 5.x Система инженерных и научных расчетов. М. Диалог, МИФИ. 1999.- 670с.