Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 621.37:519.6

СГЛАЖЕННОЕ УСРЕДНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ НА СИРЕНДИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко Е.И.

Введение. Простые и удобные дискретные элементы сирендипова семейства описаны О. Зенкевичем в книге [1]. Там же на с. 124 объясняется происхождение термина. Основное преимущество этих элементов перед лагранжевыми в том, что они позволяют избавиться от нежелательных внутренних узлов. Это упрощает вычислительную процедуру и уменьшает объём вычислений. Здесь мы не рассматриваем работу этих элементов в конечно-элементном ансамбле. Сирендипов элемент рассматривается как самостоятельный вычислительный шаблон и используется для аппроксимации электростатического поля в области квадратной формы. Предполагается, что на границе области равномерно распределены точечные заряды различной величины. Ясно, что такие шаблоны вполне  пригодны  для расчетов температурного поля пластины. Основное внимание уделяется элементам трёх типов, имеющим 4, 8, или 12 расчетных узлов на границе. При увеличении числа узлов на границе, как известно, возникает нежелательное явление осцилляции полевой функции. В статье изучается возможность сглаживания поля за счет ограничения степени интерполяционного полинома.

Постановка задачи. Задача заключается в построении такой аппроксимации электростатического поля, при которой независимо от количества узлов используется полином не выше второго порядка. При этом каждому узлу ставится в соответствие функция формы квадратного элемента с четырьмя узлами. Эти функции должны обеспечить выполнение условий соблюдения среднего (в смысле интегрального критерия И. Привалова) и сохранения баланса. Для отдельной функции такого базиса возможны нарушения интерполяционной гипотезы Лагранжа, что отличает сглаженный базис от классического. Однако в приближающем полиноме за счет взаимного влияния базисных функций аномалии не возникают.

Основная часть и результаты. На рис. 1 показаны три первые члена сирендипова семейства конечных элементов.

Рис. 1 Сирендиповы модели дискретных элементов

Характеристика этих элементов как билинейного, биквадратичного и бикубического относятся к изменению базисной функции в направлении x при постоянной h или в направлении h при постоянной x [2]. Базисными (пробными) функциями для этих элементов являются неполные полиномы второго, третьего и четвертого порядков по x и h соответственно. Для билинейного элемента (4 узла) базис имеет вид:

для биквадратичного (8 узлов):

для бикубического (12 узлов):

Необходимость сглаживания поля возникает на элементах высших порядков, начиная с биквадратического [3-5].

Для построения сглаженной аппроксимации в качестве образующего базиса мы используем первую модель (1), поворачивая вписанный квадрат так, чтобы его вершины совпадали с узлами основного (большого) квадрата. На рис. 1 вписанные квадраты показаны пунктиром. Функции, построенные на вписанных квадратах естественным путем продолжаются на основной элемент (,), на котором используется базис (1). Таким образом, каждый базис билинейной интерполяции вносит свой вклад (с определённым весом) в результирующий приближающий полином. Искомая аппроксимация поля представляет собой взвешенную суперпозицию двух (для 8 узлов) или трёх (для 12 узлов) билинейных полей.

Предложенная процедура даёт для восьми узлов вместо (2) – (4) следующую систему из восьми функций:

Результирующий полином в этом случае имеет вид:

,

где  - узловые значения потенциала, a - вес вычислительного шаблона (0<a<1).

Для 12 узлов получена следующая система:

Для этой модели результирующий полином имеет вид:

.

Из физических (и геометрических) соображений вес a лучше выбирать из интервала . В общем случае оптимальный выбор весового коэффициента является самостоятельной задачей. Готовых рецептов нет, однако, можно предположить, что в конкретных случаях компьютерные эксперименты со случайными блужданиями (и поглощениями в узлах) дадут хорошие результаты.

Выводы и перспективы. Идея разделения поля на «билинейные» составляющие аналогична методу разделения переменных в математической физике. Наша версия соответствует тому редкому случаю, когда решение уравнения в частных производных строится не в виде произведения функций, а в виде их суммы [6]. К перспективам следует отнести элементы на 16 и 20 узлов, а также некоторые трёхмерные элементы. Планируется проведение серии компьютерных экспериментов со случайными блужданиями для получения монте-карловских оценок для весовых коэффициентов.

1.                  Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 544 с.

2.                  Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981. – 304 с.

3.                  Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Про інтегральне квадратичне апроксимування на сирендипових елементах // Нелин. краевые задачи матем. физики и их приложения. Сб. науч. тр. – К.: НАН Украины. Институт математики. – 1996. – С. 270-272.

4.                  Ieyachandrobose C., Kirkhope J. Leastsquares strain smoothing for the eight-node serendipity plane stress element // Num.Meth.in Eng., 20, 1984. – P. 1164 – 1166.

5.                  Манойленко О.С., Хомченко А.Н. Субститут-базис для згладженої апроксимації на елементі сирендипової сім’ї // Вестник Херсонского гос. техн. ун-та. – Херсон: ХГТУ. – 2001. - № 3(12). – С.172-175.

6.                  Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. – М.: Атомиздат, 1972. – 392 с.