Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 62-502

ФОРМИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМ ОБЪЕКТОМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
СТРУКТУРНО ― ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ

Тимченко В.Л.

Для класса подвижных объектов динамика и внешние возмущения достаточно описаны, и наибольший интерес представляет создание инженерных методов исследования качеств многомерных динамических моделей и синтеза оптимальных управляющих воздействий. Применение для решения данных задач классических методов оптимального управления приводит к ряду вычислительных сложностей, например, необходимости решения краевых задач [1,2]. Аналитическое решение краевых задач с учетом многомерности управляемого объекта затруднительно и громоздко, а численные решения в ряде случаев не дают достаточно быстрой сходимости [3,6]. Различные подходы к оптимизации динамики объектов управления в цепях обратных связей получили развитие в работах [4,5], однако они не дают решения для задачи построения оптимальной траектории движения объекта управления.

Под динамическими принципами управления подвижными объектами понимаются методы, основанные на использовании текущей информации о компонентах вектора выходных координат объекта управления, то есть динамических характеристик – функций изменения соответствующих производных фазовых координат объекта. Поскольку указанная информация может быть получена на основе измерения выходных координат объекта управления, реализация динамических принципов для многомерного объекта осуществляется путем применения системы обратных связей. Метод структурно-переключаемых обратных связей [7,8] реализует динамические принципы управления и позволяет решать практические задачи построения оптимальных траекторий движения динамического объекта для разных критериев оптимальности и вида граничных условий. При этом движение по отрезкам оптимальной траектории обеспечивается управляющими функциями в цепях обратной связи, которые имеют возможность переключения для перехода с текущего отрезка траектории движения на заданный отрезок.

Данный метод состоит из основных этапов:

-  планирование оптимальной траектории;

- определение моментов переключения управляющих функций в цепи обратной связи объекта;

- синтез управляющих функций в цепи обратной связи динамического объекта.

Планирование траектории перехода объекта из исходной точки в конечную точку для заданных критериев оптимальности и граничных условий будет заключаться в определении необходимого количества отрезков траектории с постоянными значениями соответствующих производных, а также моментов времени переключения управляющих функций в цепи обратной связи при переходе с начального отрезка на заданный. Переключение управляющих функций изменяет структурную конфигурацию обратных связей и решает задачу обеспечения необходимого порядка производной фазовой переменной с соответствующим позитивным или негативным постоянным значением. Синтез управляющих функций при этом будет заключаться в определении управляющих воздействий в цепи обратной связи объекта управления, при которых на определенных отрезках фазовой траектории выполняются условия постоянства соответствующих производных фазовой переменной.

Рассмотрим принципы формирования оптимальных траекторий движения для линейного объекта с применением метода структурно-переключаемых обратных связей. Исследуем движение объекта с минимальным расходом кинетической энергии на плоскости на прямолинейном отрезке траектории для переменной координаты x(t) при равных начальных и конечных условиях по двум возможным фазовым траекториям, которые описываются следующими уравнениями

                                 ;                              (1)

                               ;                             (2)

где       x(0), x(T₁) = x(T₂) - начальные и конечные координаты движения;

T₁, T₂ - время движения по каждой из траекторий;

m, r - порядок высших производных фазовых координат.

Тогда изменение кинетической энергии объекта массой M для первой траектории движения будет иметь вид

,

где

для второй

,

где .

Для оценки энергии, необходимой для перехода объекта управления из начального состояния в конечное состояние по фазовой траектории (1), получим

Для фазовой траектории (2) будем иметь

Приняв m = r + 1, для  запишем

     (3)

где ,

а также

         (4)

Получив из последнего уравнения промежуточную сумму S, условие > 0 запишется следующим образом

,

откуда следует

.

Поскольку T₂ > T₁, то

,

и с учетом

следует выполнение неравенства (3).

Таким образом, при движении по второй траектории затраты энергии меньше. Следовательно, можно сделать вывод, что траектория, определяемая уравнением (2), есть оптимальной по расходу энергии. При этом в случае (m - r) = 1 разница кинетических энергий = min, а с ростом (m - r) величина  будет также возрастать. Последующий анализ показывает, что оптимальной по минимуму расходу энергии является траектория с наименьшим количеством производных фазовых переменных, необходимых для выполнения всех конечных условий.

Рассмотрим дальше условия существования оптимальных по времени траекторий, т.е. с максимальным быстродействием. Запишем уравнения движения для простого примера следующим образом

.

Поскольку x(T₁)= x(T₂), можем записать

Разделив последнее уравнение на T₁, получим

Из последнего уравнения определяем при позитивных значениях производных, что T₂ > T₁ . Проведенные расчеты можно применить к общим уравнениям. Из (4) запишем для m = r + 1

Анализ последнего уравнения показывает, что его решение возможно, с учетом > 0, при S^*<0 и тогда следует T₁ < T₂. При m = r + i последнее выражение запишется следующим образом

,

откуда следует с уменьшением S^*, что с ростом разницы (m - r) при всех аналогичных условиях значение T₁  уменьшается сравнительно с T₂.

Таким образом, можно сделать обобщенный вывод о требованиях к оптимальности движения динамического объекта при позитивных значениях производных: траектория будет оптимальной по быстродействию при движении с максимально возможным количеством производных вектора координат, при этом это будет траектория с наибольшим расходом энергии.

Пример.1. Рассмотрим решение задачи оптимального управления динамическим объектом второго порядка  для начальных условий ; конечных  и энергетического критерия .

Применение принципа максимума [1] дает при  для оптимальной функции управления . Объект движется по фазовой траектории с постоянной третьей производной и изменяющейся по пропорциональному закону второй производной выходной координаты. Значение критерия оптимальности при этом равняется .

В то же время из вывода, полученного выше, следует, что оптимальной с точки зрения затраты энергии будет фазовая траектория с минимумом производных выходной координаты, необходимых для выполнения граничных условий. Таким образом, фазовые траектории будут иметь вид

            (5)

Получим .

Результат расчета расхода энергии показывает, что фазовые траектории (5) являются действительно оптимальными. При этом отметим, что результат получен без требований ко времени движения динамического объекта. В то же время, если задать требуемое время, например, , уравнения (5) не будут выполняться и фазовые траектории необходимо записать в виде

С учетом численных значений получим

Решение последней системы дает ; , т.е. движение по фазовым траекториям с меньшими затратами энергии но с худшим быстродействием.

Пример.2. Рассмотрим задачу оптимального управления объектом  для начальных условий ; конечных  и энергетического критерия оптимальности . Осуществляем переход по следующим, с точки зрения минимума энергетических расходов, фазовым траекториям

                                                                                           (6)

Для  получаем  

Для поиска оптимального решения выразим  и  из системы (6)  Теперь рассмотрим непосредственно критерий оптимальности для управления вида

Поиск минимума дает . Таким образом, в задаче движения с минимумом использованной энергии для замкнутого решения необходимо задавать время переходного процесса.

Построение оптимальных траекторий и определение моментов времени переключения управляющих функций методом переключаемых обратных связей осуществляется путем решения системы алгебраических уравнений, а применение управляющих функций в цепях обратной связи не требует непосредственного измерения производных фазовых переменных на выходе объекта управления.

Литература

1.                  Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов ― М.:Наука, 1974. ― 392 с.

2.                   Чаки Ф. Современная теория управления ― М.: Мир, 1975. ― 424 с.

3.                   Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Беллман Р., Калаба Р. ― М.:Мир, 1968. ― 184 с.

4.                   Габасов Р., Реализация ограниченной обратной связи в нелинейной задаче регулирования/Габасов Р., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А.//Кибернетика и системный анализ. ― К., 2009. ― № 1. ― С.108 ― 117.

5.                   Ларин В.Б. Стабилизация системы обратной связью по выходной переменной//Проблемы упр. и информатики. ― К., 2004. ― № 2. ― С.5 ― 18.

6.                   Ларин В.Б. О симметризации двухточечной краевой задачи // Проблемы упр. и информатики. ― К., 2002. ― № 3. ― С.30 ― 38.

7.                   Kondratenko Y.P. Optimal feedback switching method for linear control systems / Kondratenko Y.P., Timchenko V.L. // Systems and Networks: Mathematical Theory and Applications (Mathematical Research). ― Berlin: Academia Verlag, 1994. Vol.79. ― P.291 ― 292.

8.                   Тимченко В.Л. Синтез управляющих функций на основе структурно-переключаемых обратных связей при управлении многомерным объектом//Труды Одесского политехнического университета, Вып.2(24), 2005г. – стр.155-160.