Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 681.3

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ РЕКУРРЕНТНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

С СУПРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Тимофеев В.А.

 Введение. На сегодня проблема управления техническим объектом в условиях неопределенности – одна из центральных проблем современной теории управления. Адекватным математическим аппаратом для решения этой проблемы является теория адаптивных систем управления, а широкое распространение микропроцессорной техники привело к развитию дискретных адаптивных систем управления [1-16].

К настоящему времени сформировался ряд относительно независимых направлений в теории адаптивных систем. Здесь, прежде всего, следует выделить адаптивные регуляторы с минимальной дисперсией (основополагающая работа [17]), адаптивные регуляторы с обобщенной минимальной дисперсией (основополагающие работы [18,19]), адаптивные системы с требуемым размещением нулей и полюсов (основополагающие работы [19-21]), системы с адаптивными упредителями (основополагающая работа [22]).

 Во всех этих подходах предполагается, что возмущения, действующие в системе, имеют стохастическую природу, причем это, как правило, белый шум с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. В практических ситуациях статистические предпосылки являются надуманными, в связи с чем гораздо более реальными представляются допущения лишь об ограниченности шума или его разностей по амплитуде. В этих условиях использование методов идентификации, основанных на квадратичных критериях и, прежде всего, рекуррентного метода наименьших квадратов явно неэффективно. Возникающие затруднения частично могут быть преодолены в рамках адаптивных робастных систем управления [23-26], в которых, тем не менее, все равно «спрятаны» определенные статистические предпосылки.

 В связи с этим представляется целесообразным осуществить синтез теории адаптивного и критического управления, что приведет к созданию адаптивных супремальных методов контроля, идентификации и управления динамическими объектами, функционирующими в условиях существенной неопределенности о характеристиках объекта и окружающей среды.

 Целью настоящей работы и является разработка рекуррентного метода идентификации, обеспечивающего получение оценок, обладающих супремальными свойствами, которые не зависят от статистических характаристик сигналов и помех, и свойствами МНК-оценок.

 Постановка задачи. Рассмотрим динамический объект, функционирующий в замкнутой системе управления  , описываемый разностным уравнением

 ,                                                    (1)

где полиномы  с ;  - время чистого запаздывания   и  - выходной, управляющий и возмущающий сигналы соответственно.

 Относительно возмущений предполагается ограниченность их первых разностей.

 В случае, если параметры объекта априори известны и неизменны, задача критического управления может быть решена с помощью супремального регулятора, т.е.

                                              (2)

где полиномы  с  и  задаются уравнением

 В том случае, если параметры объекта неизвестны, можно воспользоваться тем или иным методом идентификации, а затем применить закон управления (2), в котором истинные значения параметров объекта заменены их оценками. В этом и состоит суть адаптивного подхода к проектированию систем управления объектами, функционирующими в условиях неопределенности. Как правило, в качестве процедур идентификации те или иные модификации рекуррентного метода наименьших квадратов либо проекционные алгоритмы, так или иначе связанные с квадратичными критериями. При использовании критериев, отличных от квадратичных, например, модульных, хотя и получают робастные процедуры, статистический смысл задачи идентификации тем не менее сохраняется. Естественно, что такие алгоритмы идентификации не могут быть использованы в критических системах управления.

 В связи с этим возникает необходимость синтеза адаптивных алгоритмов идентификации, не связанных ни с какими статистическими предпосылками, обладающих высокой скоростью сходимости, вычислительной простотой и пригодных для работы в реальном времени в контуре критической системы управления динамическим объектом.

 Алгоритмы идентификации, применяемые в критических системах. Введем в рассмотрение полином

                                                     (3)

где  ,

и перепишем уравнение объекта (1) в виде

                                                (4)

где      

 Тогда задача идентификации с позиции теории критических систем сводится к нахождению оценок неизвестного вектора параметров  таких, что

  .                           (5)

Здесь  - оценка параметра .

К настоящему времени сложился ряд подходов к задаче идентификации, связанной с неравенством (5). Это, прежде всего, подход Фогеля-Хуанга [27], в основе которого лежат некоторые геометрические построения. Известна также процедура Лозано-Лила-Ортеги [28], синтезированная как на геометрических предпосылках, так и исходя из условий устойчивости процесса сходимости. Нельзя не отметить также алгоритм Канудас де Вита-Каррильо [29], являющийся некоторой модификацией экспоненциально взвешенного рекуррентного МНК. Несмотря на эффективность этих процедур, их использование в критических системах наталкивается на серьезные затруднения.

 Так, оптимальный алгоритм Фогеля-Хуанга настолько сложен с вычислительной точки зрения, что не может быть и речи о его использовании в режиме реального времени. Эта сложность обусловлена, прежде всего, необходимостью отыскания на каждой итерации глобального минимума многоэкстремальной функции  переменных, что само по себе является достаточно сложной проблемой.

 В алгоритме Лозано-Лила-Ортеги, имеющем вид

 ;                        (6)

    (7)

                                                      (8)

                                               (9)

априори предполагается ограниченность значения  , из которого следует условие сходимости

т.е. ошибка идентификации  никогда не может быть по модулю меньше заданных ограничений .

 В алгоритме Канудас де Вита-Каррильо

      (10)

           (11)

                                (12)

где  определяется соотношением (9),

в ситуации, когда  и значение  близко к нулю, возникает режим неустойчивости, поскольку компоненты вектора

могут неограниченно возрастать. Кроме того, в случае, когда , невозможно гарантировать выполнение условия  в предположении, что  ограничено.

 Модифицированный алгоритм идентификации и оценивание его сходимости. Объединяя достоинства рассмотренных процедур, можно ввести комбинированный алгоритм, являющийся своеобразной комбинацией рекуррентного МНК и процедур (6)-(8) и (10)-(12).

 Рассмотрим алгоритм вида

          (13)

 ,     (14)

                           (15)

где  определяется в соответствии с (9), и проанализируем его сходимость.

 Введем в рассмотрение вектор уклонений оценок от истинных значений параметров

и функцию Ляпунова

Объединяя (4) с (13)-(15), получаем

               (16)

С учетом ранее введенного условия  несложно переписать (16) в виде неравенства

которое справедливо в случае  Кроме того, поскольку в этом случае

несложно видеть, что

                               (17)

откуда

                                  (18)

что свидетельствует о критериальной сходимости алгоритма (13)-(15).

 Перенеся в левую часть (13)  и возведя обе части полученного выражения в квадрат, получаем

              (19)

где  - максимальное собственное значение матрицы .

 Из (14) очевидно следует условие

позволяющее переписать (19) в виде

который вместе с выражением (18) свидетельствует об аргументной сходимости алгоритма.

 Далее, используя лемму об обращении матриц, запишем

откуда следует неравенство

где  - минимальное собственное значение матрицы .

 Это неравенство совместно с (17) приводит к тому, что

и

откуда можно записать выражение

определяющее скорость сходимости введенного алгоритма.

 Выводы.

 В работе предложена модификация рекуррентного МНК, обладающая супремальными свойствами. Так как основой данного алгоритма является рекуррентный МНК, трудностей с его практической реализацией не возникает. Полученная оценка скорости сходимости предложенного алгоритма свидетельствует о том, что эта скорость в значительной мере определяется свойствами ковариационной матрицы наблюдений  ( соотношением ее максимального и минимального собственных чисел). Кроме того, входящая в алгоритм величина  зачастую известна лишь приближенно, поэтому необходимо в процессе идентификации осуществлять оценивание (уточнение) этой величины и подставлять полученные оценки в алгоритм идентификации.

1.                  Isermann R. Practical aspects of process identification // Automatica.-1980.-16.-P. 575-597.

2.                  Evans R. J., Betz R. E. New results and applications of adaptive control to classes of nonlinear systems // Ricerche di Automatica.-1982.-13.-№2.-Р. 277-297.

3.                  Tsypkin Y. Z. The theory of adaptive and learning systems // Cybern.:Theory and Appl. - Washington, D. C., 1983.- P. 59-89.

4.                  Astr6m K. J. Theory and Applications of adaptive control - a survey // Automica.- 1983.-19.-№5.-Р. 471-486.

5.                  Цыпкин Я. 3., Кельманс Г. К. Дискретные адаптивные системы управления // Итоги науки и техники. Техн. кибернетика. - Т. 17.-М.: ВИНИТИ, 1984.-С. 3-73.

6.                  Navendra К. S., Annaswamy A. M. Recent trends in adaptive control theory // J. Soc. Instrum. And Control Eng.- 1984.-23-.No5.-P. 27-34.

7.                  Kumar P. R. A survey of some results in stochastic adaptive control // SIAM J. Control and Optim.-1985.-23-№3.- Р. 329-380.  Unbehauen H. Theory and application of adaptive control // Ргос. 7th IFAC/ IMACS Conf. -Vienna.- 1985.-P. 1-17.

8.                  Иванов В. А., Шапировский M. P. Адаптивные системы управления с моделями // Итоги науки и техники. Техн. кибернетика. -Т.18.-М.: ВИНИТИ, 1986.-С. 210-240.

9.                  King-Sun Fu. Learning control systems - Review and outlook // IEEE Trans. on Pattern Anal. and Mach. Intel.-1986.-8.-Mo3.-P. 327-342.

10.              De Keyser R. M. C. Applying adaptive control problems and solutions // Journal A. - 1986.-27.-№3.- Р. 111-119.

11.               Martin Sanchez J. M. Adaptive control for time - variant processes // Int. J. Contr.- 1986.-44.-№2.-Р. 315-329.

12.              Кунцевич В.М. Адаптивное управление: алгоритмы, системы, применение . -К.: Выща шк., 1988.- 64 с.

13.              Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М.:Высш. шк., 1989.-263с.

14.              Романенко В. Д., Игнатенко Б. В. Адаптивное управление  технологическими процессами на базе микроЭВМ. - К.: Выща шк.,  1990.-334с.

15.              Astr6m К. J., Wittenmark В. On self-tuning regulators // Automatica.-1973.-9.-P.185-199.

16.              Clarke D. W., Gawthrop P. J. Self-tuning controller// Proc. IEE.-1975.-122.-P. 929-934.

17.              Wellstead P. E., Edmunds М. J., Prager D., Zanker P. Self-tuningpole/ zero assignment regulators // Int. J. Contr.-1979.-30.-№1.- Р. 1-26.

18.              Wellstead P. E., Prager D., Zanker P. Pole assignment self-tuning regulator // Proc. DEE.-1979.-126.-D.- P. 781-787.

19.              Astrom K. J., Wittenmark B. Self-tuning controllers based on pole-zero placement // Proc. IEE.-1980.-127.-D.- P. 120-130.

20.              Kreisselmeier G., Narendra K. S. Stable MRAC in the presence of bounded disturbances // IEEE Trans. on Autom. Contr.-1982.-27.- P. 1169-1175.

21.              Clarke D. W., Mohtadi C., Tuffs P. S. Generalized predictive control. Tue basis algorithm // Automatica.-1987.- 22.- №2.- P. 137-148.

22.              Samson С. Stability analysis of adaptively controlled systems subject to bounded disturbances // Automatica.- 1983.-19.- P. 81-89.

23.              Narendra K. S., Annaswamy A. М. Robust adaptive control in the presence of bounded disturbances // IEEE Trans. on Autom. Contr.-1986.-31.-№4.-P.306-315.

24.              0rtega R., Lozano-Leal R., A note on direct adaptive control of systems with bounded disturbances // Automatica.-1987.-23.- №2.- P. 253-254.

25.              Fogel E., Huang Y. F. On the value of information in system  identification - bounded noise case // Automatica. -1982.-18.-№2.- Р. 229-238.

26.              Lozano-Leal R., Ortega R. Reformulation of the parameter identification problem for system with bounded disturbances //Automatica.- 1987.-23.- №2.- P. 245-257.

27.              Canudas de Wit C.C., Carrilo J. A modified EW - RLS algorithm for systems with bounded disturbances // Automatica.-1990.- 26.- P. 599-606.

28.              Фомин В. Н. Математическая теория обучаемых опознающих систем. - Л.: Изд. ЛГУ, 1976. – 235 c