Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 681.516.4: 681.5.037

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Завальнюк И.П., Бражник А.М.

Введение. Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Большинство реальных колебательных систем в различных областях техники неконсервативны (с изменяющимся во времени запасом энергии). Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, преобразующих энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики незатухающих колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. Энергия представляет собой не только основной инвариант динамической системы, но и является мерой взаимодействия различных систем. По своему физическому смыслу внутренняя энергия системы является мерой ее возможности совершения работы. Задача изменения энергии за счет внешних воздействий (управлений) может иметь как теоретическое, так и практическое значение. Например, для энергосберегающих технологий важной задачей является преобразование энергии системы без неоправданных потерь энергии внешних воздействий.

Работа той или иной системы сопровождается потерей устойчивости одними режимами её функционирования и рождением новых, устойчивых. Изменения могут накапливаться плавно, а могут происходить скачком в виде катастроф [1-3]. При потере устойчивости предшествующего режима система выбирает новый устойчивый режим, который может наследовать некоторые свойства предыдущего, а может быть и резко отличным.

Постановка задачи. Большой интерес представляет исследование поведения динамических систем при переходе в критический режим функционирования, а также при изменении функции диссипации.

Анализ последних исследований и публикаций. Для объяснения физической природы автоколебаний в [4] рассмотрен энергетический баланс колебаний. Отмечено, что наряду с формами энергии, используемыми для объяснения собственных колебаний (потенциальной и кинетической энергий) в автоколеба­ниях определенную роль играют потеря энергии на преодоление сил демпфирования E_D и подводимая извне энергия Е_z. Если действующие в системе силы демпфирования незначительны, то происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, как в случае собственных колебаний. При авто­колебаниях общее количество энергии, переходящей из одной формы в другую, зависит также от E_D и Е_z . Здесь нет необходимости знать E_D и E_z в каждый момент времени t; чтобы получить общую карти­ну колебания, вполне достаточно знать ∆E_D, т. е. потерю энергии на преодоление сил демпфирования за период колебания, а также под­водимую извне энергию ∆E_Z за тот же период. Если , то в течение каждого периода колебания энергия у системы отбирается, и происходят затухающие колебания. Если, наоборот,  то энергия системы увеличивается, и колебания на­растают.

Кроме того, в [4] рассмотрены случаи, когда ∆E_D и ∆E_Z являются или не являются функциями амплитуды колебаний. Утверждается, что вид функции подводимой энергии ∆E_Z зависит от механизма возбуждения

Цель статьи. Исследовать поведение автоколебательной системы при переходе и выходе из критического режима функционирования.

Решение задачи. Проведем анализ работы динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Для упрощения исследования, эту систему можно преобразовать в одномерную динамическую систему 2-го порядка (при условии, что ), описываемую следующим дифференциальным уравнением:

Структурная схема моделирования в программе MATLAB представлена на рис. 1.

Диссипация энергии в системе определяется:

При отрицательной диссипации (поглощение энергии) уравнение (3) принимает вид

Система под действием импульсов генератора Pulse Generator переходит из одного автоколебательного режима на другой, характеризующихся различными уровнями энергии и параметрами колебаний. Переходы осуществляются при смене фронта импульса, а главное за один период колебаний системы, что доказывает квантовый характер поведения системы.

В структурной схеме предусмотрен переключатель Manual Switch. В нижнем положении ключа процесс идет по нижней ветви схемы, т.е. благодаря импульсу генератора система получает «толчок» (поглощается порция энергии), выходит из состояния устойчивых колебаний и переходит за один период колебаний на другой уровень устойчивых колебаний. Причем новый режим характеризуется большей амплитудой колебаний – на  фазовом портрете (рис.2) можно проследить смену предельных циклов (от меньшего к большему). Осциллограммы интересующих сигналов представлены на рис.3.

Таким образом, система выполняет функции дискретного накопителя энергии.

В верхнем положении ключа процесс идет по верхней ветви схемы, что, обеспечивает изменение функции диссипации энергии:

При этом система переходит из внешнего (конечного) предельного цикла на внутренний (начальный) предельный цикл – на фазовом портрете (рис.2) наблюдается резкая смена предельных циклов (от большего к меньшему). Следовательно, за один период колебаний система переходит в начальный режим автоколебаний, что сопровождается выделением накопленной энергии.

Проанализировав графики изменения количества энергии в различных режимах работы системы (рис. 4, рис. 5) можно сделать вывод, что существует возможность ударного высвобождения энергии при изменении функции диссипации.

Исследуем поведение системы, описываемой уравнением (2), в случае, когда переход в критический режим функционирования осуществляется под действием внешних колебаний. Введем звено:

где , что обеспечивает режим автоколебаний

В структурной схеме моделирования (рис.6) колебательное оно образовано блоками Sum1, Intefrator1, Integrator2 и множителем b₂.

Введем функцию диссипации энергии в системе, описываемую уравнением (7) и имеющую вид, изображенный на рис.7.

,                                                   (7)

где .

Рис.7 Вид функции, определяющей диссипацию энергии в системе.

Используя функцию такого вида можно организовать некоторую потенциальную яму, из которой система выходит под действием управления, и в которую возвращается при снятии управления (переходы из положения 1 в 2 и обратно), причем с выделением накопленной энергии

Кроме того, условия перехода системы из одного состояния в другое имеют вид:

1)  - происходит поглощение энергии;

                        2)  - происходит выделение энергии;                     (8)

3)  -система находится в потенциальной яме;

где  - действительная часть корней характеристического уравнения исследуемой системы.

Таким образом, под действием резонансного звена система переходит из начального состояния в критический режим функционирования, т.е. перемещается на границу устойчивости, что сопровождается появлением предельного цикла. Существенно, что возврат на исходный цикл в этом случае осуществляется при снятии управления (при помощи Manual Switch – рис.6). Тогда система скачком, за один период колебаний переходит на внутренний предельный цикл с выделением накопленной энергии.

Описанные процессы иллюстрируют фазовый портрет системы (рис.8) и осциллограммы сигналов (рис.9)

где  - действительная часть корней характеристического уравнения исследуемой системы.

Рис. 8 Фазовый портрет системы.

Рис. 9 Осциллограммы сигналов: 1,2 – сигналы  и , показывающие колебания системы; 3 – осциллограмма, определяющая энергию в системе; 4 – осциллограмма, показывающая изменение количества энергии при переходе системы с одного предельного цикла на другой.

Таким образом, под действием резонансного звена система переходит из начального состояния в критический режим функционирования, т.е. перемещается на границу устойчивости, что сопровождается появлением предельного цикла. Существенно, что возврат на исходный цикл в этом случае осуществляется при снятии управления (при помощи Manual Switch – рис.6). Тогда система скачком, за один период колебаний переходит на внутренний предельный цикл с выделением накопленной энергии.

Описанные процессы иллюстрируют фазовый портрет системы (рис.8) и осциллограммы сигналов (рис.9)

Выводы:

                  1.                        Автоколебательные системы могут проявлять свойство накапливания энергии при переходе в критический режим функционирования.

                  2.                        Динамические системы данного класса, в случае снятия управления, выделяют всю накопленную энергию при определенном виде функции диссипации. При этом осуществляется переход с внешнего предельного цикла на внутренний предельный цикл.

                  3.                        Переход происходит за один период колебаний системы, т.е. наблюдается квантовый характер перехода.

                  4.                        Изучение критических (предельных) режимов работы данного класса систем позволит предотвратить последствия ударов в системах, возникающих при снятии управления, т.е. при резком снижении напряженности режима.

                  1.                        Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 312 с.

                  2.                        Анищенко В.С. Устойчивость, бифуркации, катастрофы // Соросовский образовательный журнал.- 2000.- Т.6, №6. - С. 98-115.

                  3.                        Арнольд В.И. Теория катастроф.-3-е изд., доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1990. – 128 с.

                  4.                        Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем: Пер. с нем. – М.: Мир, 1982. – 304 с., ил.

                  5.                        Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.- 3-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 624 с.

                  6.                        Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. – СПб.: Наука, 2003. – 208 с., ил.