УДК 681.5.01

В процессе функционирования системы автоматического управления, содержащей цифровой фильтр, возникает задача оперативного изменения характеристик фильтра к изменениям входного сигнала, например, коэффициент усиления, частоту среза, полосу пропускания. В этом случае частотная характеристика фильтра автоматически регулируется, обеспечивая заданные свойства системы. Гибкость характеристик, присущая перестраиваемым и адаптивным фильтрам, широко используется в различных технических системах, например, в эхоподавлении сигналов в телефонии, обработки сигналов в радиолокационных и гидроакустических системах, в выделении биомедицинских сигналов на фоне других сигналов и т.д. [1].

При построении перестраиваемых фильтров обычно используют нерекурсивные фильтры высокого порядка, что усложняет их реализацию и подстройку. Это обусловлено тем, что у нерекурсивных фильтров отсутствует проблема устойчивости передаточной функции [2,3]. Применение адаптивных алгоритмов для перестройки характеристик рекурсивных фильтров имеет ряд ограничений. Прежде всего, это проблемы устойчивости передаточной функции и ограничения диапазона изменения управляемого параметра, а также линейность управления.

Рассмотрим возможность применения адаптивных алгоритмов для перестройки рекурсивного фильтра низкого порядка и их влияния на общий порядок фильтра, рис. 1.

Рис. 1 Перестраиваемый цифровой фильтр

x_n — входной сигнал; y_n — выходной сигнал; y* — внешнее управляющее воздействие; а_n — коэффициенты алгоритма подстройки

Для цифрового рекурсивного фильтра первого порядка справедливо разностное уравнение:

,                                                                              (1)

где y_n-1 – выходной сигнал фильтра в n-1 момент времени; b – весовой коэффициент.

Для изменения коэффициента a_n цифрового фильтра (рис. 1) воспользуемся известными адаптивными алгоритмами по методу наименьших квадратов, поскольку они нашли широкое применение при обработке сигналов, имеют не высокую вычислительную сложность и требования к памяти. Это такие алгоритмы как адаптивные алгоритмы по методу наименьших квадратов (LMS — Least Mean Square) и его варианты - алгоритмы со знаком сигнала данных (SD LMS — Sign-Data LMS), алгоритмы со знаком сигнала ошибки (SE LMS — Sign-Error LMS), алгоритмы со знаком сигнала данных и знаком сигнала ошибки (SS LMS — Sign-Sign LMS) [4].

Алгоритм подстройки коэффициента цифрового фильтра а_n по методу наименьших квадратов обычно имеет вид:

,                                                 (2)

где a – шаг подстройки; d – весовой коэффициент; a_n, a_n-1 – коэффициенты цифрового фильтра в n и n-1 моменты времени; е_n = y* - y_n  — сигнал ошибки.

Тогда перестраиваемый цифровой фильтр будет описываться системой уравнений:

,                                                        (3)

переходя к изображениям через Z-преобразование, получим:

.                                                        (4)

После преобразований передаточная функция рекурсивного фильтра будет иметь вид:

.                          (5)

Поскольку ошибка в пределе стремиться к заданному значению ,  то и его Z-преобразование будет стремиться E(z) ® b, тогда выражение (5) можно привести к виду:

,                                                                  (6)

где C₁ = - ( b + d ); C₂ =  bd; b и d < 0.

Следует отметить, что применение алгоритма адаптации для перестройки коэффициента усиления цифрового фильтра привело к повышению порядка передаточной функции устройства в целом (6), т.к. исходный фильтр имел передаточную функцию первого порядка (1).

Обобщая полученный результат можно показать, что при перестройке цифрового фильтра N₁ порядка вида

,                                       (7)

алгоритмом перестройки порядка N₂ вида

                                     (8)

Получим “чисто рекурсивный” цифровой фильтр порядка N₁+N₂, передаточная функция которого будет иметь вид:

.                                                        (9)

Из теории цифровых фильтров известно, что для повышения порядка используются структурные методы: последовательное или параллельное соединение звеньев низкого порядка, а также включение звена в обратную связь [1]. Применение алгоритма перестройки коэффициента усиления цифрового фильтра аналогично последовательному соединению звеньев фильтра при введении управления коэффициентом в виде обратной связи, рис.1.

Для анализа свойств полученной передаточной функции рассмотрим реальный фильтр с частотой среза f_c = 1,5 кГц при частоте дискретизации f_д = 12 кГц. Обозначим через k числитель передаточной функции (6).

Перестройка коэффициента k приводит к изменению коэффициента усиления при постоянных коэффициентах знаменателя C₁ = -0,9128 и C₂ = 0,3333 и относительной частоте среза . ФЧХ при этом остается неизменной, рис. 2.

При комплексной перестройке коэффициентов числителя и знаменателя (смотри таблицу параметров) можно стабилизировать коэффициент усиления и варьировать частоту среза, рис. 3.

Параметры цифрового фильтра при перестройке его коэффициентов

Следует отметить, что комплексная перестройка приводит к изменению ФЧХ, однако это может привести к искажениям формы выходного сигнала.

Рис. 2. АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра при перестройке коэффициента числителя

Рис.3. АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра при перестройке коэффициентов числителя и знаменателя

Таким образом, применение адаптивных алгоритмов для перестройки коэффициентов цифрового фильтра низкого порядка позволяет повысить порядок фильтра и крутизну АЧХ в переходной области, осуществить раздельную перестройку коэффициента усиления и частоты среза.

1.                  Айфитчер, Эммануил С., Джервис, Барри У. Цифровая обработка сигналов: практический поход, 2-е издание. : Пер. С англ.- М.: Издательский дом  „Вильямс”, 2004. – 992 с.

2.                  Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. – М.: Миp, 1984. - 541с.

3.                  Уидpоу Б., Стиpнз С. Адаптивная обpаботка сигналов. – М.: Радио и связь, 1989.- 440с.

4.                  Equalization, Prof. David Johns, University of Toronto, (johns@eecg.toronto.edu)