Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 621.372.54.001.5

АНАЛИЗ ПУТЕЙ УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ

Ситников В.С.

Системы управления реального времени требуют использования микропроцессорной техники высокого быстродействия. Это обуславливает необходимость применения устройств с фиксированной точкой и ограниченной разрядной сеткой при ограниченных материальных затратах [1]. В таких условиях возникают специфические погрешности – погрешность на шаге и погрешности квантования [2, 3].

Квантования усложняет характер протекания динамических процессов и в первом приближении цифровые системы, рассматриваются как импульсные с последующим учетом влияния квантования по уровню в виде дополнительных шумов квантования [4].

Основным источником погрешности на шаге является использование численных методов. Источниками погрешностей квантования являются квантование входного сигнала в устройстве преобразования из аналогового вида в цифровой; квантования коэффициентов процедуры фильтрации и обработки сигналов; квантования арифметических операций.

Для определения путей уменьшения погрешностей цифровых устройств необходимо рассмотреть классификацию погрешностей. К классификации этих погрешностей имеется ряд подходов, которые с методических позиций объясняют разные категории погрешностей, места и условия их появления, трансформацию первичных погрешностей на выходе устройства [5, 6].

Следует отметить, что при рассмотрении цифровых устройств ряд авторов относят те или иные погрешности к разным категориям. В последнее время понятие “методическая погрешность” применяют к погрешности, которая вызвана методом, положенным в основу создания самого устройства. Погрешность квантования, которая является неминуемой и обусловленная методом цифрового представления информации, также именуется “методической”. При этом подчеркивается, что ее размер не зависит от усилий разработчика устройства [5].

Обычно определение длины разрядной сетки, то есть количества двоичных разрядов для представления чисел, выполняют в предположении, что при обработке сигналов в цифровых устройствах не вносится дополнительная погрешность. Такое предположение не соответствует действительности, если обработка идет при конечной разрядной сетке. Однако это предположение может быть достоверным, если причины и законы формирования всех погрешностей известны, что дает возможность учесть их влияние при определении рациональной длины разрядной сетки.

Погрешность результата обработки в основном зависит:

-          от методической погрешности из-за использования приближенных зависимостей;

-          от погрешностей входных данных: это и первичные погрешности измерителя и преобразователя сигналов, это погрешности квантования сигналов и т.п.;

-          от погрешностей самого цифрового устройства, которые он вносит во время обработки сигналов с конечной разрядной сеткой.

Можно отметить и некоторые пути уменьшения погрешности за счет:

-          использования зависимостей, которые наиболее полно и точно отображают взаимосвязи между реальными физическими переменными. При этом ограничения может быть связано с недостаточно глубокими знаниями характера процесса, который отображается;

-          повышения точности измерений и представления входных сигналов. Это обуславливает использования точных, а следовательно, и дорогих датчиков и преобразователей сигналов;

-          рационального повышения точности работы цифрового устройства или цифровой системы в целом. Это может быть достигнуто повышением длины разрядной сетки в границах заданной точности или выбора оптимальной структурной организации алгоритма вычислений или вычислительной системы в целом.

Основные причины возникновения погрешности на шаге и погрешностей квантования это не идеальность характеристик цифрового устройства и конечная длина разрядной сетки. Следует отметить, что эти погрешности имеют тенденцию к накоплению при увеличении количества операций обработки сигналов. Погрешность, которая возникает на выходе цифрового устройства и связанная с округлением арифметических операций и трансформацией через алгоритм и устройство обработки, будем называть вычислительной. Эта погрешность зависит от точности воспроизведения идеальной характеристики обработки, количества операций в процедуре обработки сигналов, структурной организации цифрового устройства, длины разрядной сетки, формы представления чисел и способа округления результатов операций.

Для уменьшения исходной погрешности цифрового устройства необходим комплексный подход для уменьшения этих факторов, а это означает, что при проектировании следует согласовывать характеристики точности всех элементов цифрового устройства и системы в целом: датчиков и преобразователей сигналов, методов и алгоритмов обработки, структурную организацию цифрового устройства и системы в целом.

Рассмотрим погрешности цифрового устройства обработки сигналов, при этом исключим вопрос точности входного сигнала. Тогда вычислительную погрешность цифрового устройства будем классифицировать на этапах разработки и реализации такими составляющими как методическая, трансформированная (наследственная) и инструментальная (машинная) [6].

Методическая погрешность. На этапе проектирования цифрового устройства определяют математическое описание физического объекта или процесса. Для реализации на основе численных методов формируют модель этого процесса. Такое представление является приближенным, что приводит к появлению методической погрешности.

Для анализа точности работы цифровых устройств вводится понятия погрешности на шаге [3]

 

,

 

где  - обратная разность первого порядка;  - выходной сигнал идеального устройства после дискретизации;  - выходной сигнал реального устройства после дискретизации и оцифровки;  - период дискретизации сигнала.

Применение Z-преобразования к погрешности на шаге  позволяет получить изображение этой погрешности

 

,                                                                        (1)

 

где  - комплексная переменная Z-преобразования;  - изображение сигнала идеального устройства после дискретизации;  - изображение сигнала реального устройства после дискретизации и оцифровки.

Изображение выходного сигнала выразим через изображение входного сигнала  и передаточные функции идеального  и реального  устройств

 

;                                                                                (2)

 

После подстановки этих соотношений в (1) получим

 

.

 

Преобразуя изображение погрешности на шаге с учетом (2) запишем

 

.                 (3)

 

Из уравнение (3) следует, что погрешность на шаге зависит от относительной погрешности  реального устройства по отношению к идеальному

 

.                                                                                       (4)

 

Тогда для получения квазиидеального выходного сигнала на выходе устройства необходимо минимизировать относительную погрешность .

К частотным характеристикам перейдем, подставив в (4)

 

,

 

где  - относительная цифровая частота, ;  - текущая угловая частота входного сигнала, тогда

 

,

 

где  и  - соответственно амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики реального устройства;  и  - соответственно амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики идеального устройства.

Найдем модуль  и фазу  относительной погрешности

 

;                                       (5)

,                                       (6)

где .

При  модуль относительной погрешности стремиться к , а при  фаза относительной погрешности к .

На практике для оценки относительной погрешности вместо формул (5) и (6) используют формулы [7]

 

,                                                             (7)

.                                                             (8)

 

Среднеквадратичные погрешности между формулами (5), (6) и (7), (8) составляют величину менее 10-3 и определяются по формулам

 

,

.

 

Это означает, что использование формул (7) и (8) вполне оправдано.

Таким образом, улучшение частотных характеристик позволяет повысить точность устройства, уменьшая погрешность на шаге.

Источником методической погрешности являются погрешности численных методов, поэтому эти погрешности могут быть снижены к желаемым значениям исходя из общей теории приближенных вычислений. Несмотря на теоретические оценки методической погрешности выбор метода приближенных вычислений при разработке алгоритма и устройства с учетом методической погрешности, времени вычислений, быстродействия аппаратных и микропроцессорных средств, а также необходимой емкости памяти является задачей, которую необходимо решать каждый раз. Следует отметить, что выбор метода приближенных вычислений может состоять в выборе метода по формированию наилучших статических и динамических характеристик проектируемого цифрового устройства [8].

Моделирование на ЭВМ реализации выбранных вариантов приближенных вычислений и характеристик проектируемого цифрового устройства позволяет выбрать наилучшее решение по заданным показателям качества.

Трансформированная (наследственная) погрешность. При цифровой обработке сигналов на выходную погрешность имеют существенное влияние погрешности входных сигналов, которые возникают из-за неточности измерений и невозможности представления некоторых числовых величин конечным числом значащих цифр (иррациональные числа, некоторые дроби и т.п.), а также погрешности предыдущих этапов обработки.

Так преобразования аналогового сигнала в цифровой выполняется в аналого-цифровом преобразователе. Теоретически установлено, что квантования с линейной шкалой приводит к возникновению методической погрешности, которую называют шумом квантования. Максимальное значение этой погрешности равняется  единиц младшего разряда, а дисперсия  при работе со случайными процессами приблизительно равняется [9]

 

,

 

где  - шаг квантования;  - среднеквадратичное отклонение.

Однако, этот результат относится к идеальных АЦП, в которых характеристика квантования, это зависимость выходного кода от входного сигнала , при числе разрядов  имеет  ступеней, а шаг квантования  постоянный по всей характеристике.

Характеристики квантования реальных АЦП отличаются от идеальных из-за наличия неминуемых аппаратных погрешностей, обусловленных несовершенством отдельных элементов преобразователя, отходом параметров в зависимости от времени, температуры, нестабильностью источников питания и т.п. Общее число источников, которые вызывают аппаратные погрешности, всегда большое и зависит от того, насколько маленькую погрешность должен обеспечить АЦП, то есть от класса точности данного АЦП.

Поэтому для анализа погрешностей квантования может быть построенная нелинейная модель квантования конкретного АЦП, которая учитывает нелинейные процессы квантования и влияния дестабилизирующих факторов схемы конкретного АЦП, и линейная модель квантования, которое приближенно, но достоверно описывает процесс квантования [2, 3, 10].

Воспользуемся линейной моделью формирования выходного сигнала АЦП. Она состоит из дискретизатора, который с периодом дискретизации , из аналогового сигнала  формирует дискретный сигнал , и сумматору, который прибавляет погрешность квантования по уровню  для формирования выходного цифрового сигнала  [11].

Для соединения АЦП с компьютерной системой применяют прямой (CSB) и дополнительный (CTC) двоичные коды: прямой - для униполярных сигналов, а дополнительный - для биполярных сигналов. При разрядности  в прямом двоичном коде используются все разряды для кодирования входного сигнала , а в дополнительном коде один разряд выделяется для знака и  разрядов для кодирования величины сигнала, то есть .

Анализ погрешностей квантования базируется на предположении, что погрешность равновероятна в пределах шага квантования и ее можно рассматривать как случайную величину с равномерной плотностью распределения [2]. При квантовании могут использоваться два способа ограничения разрядной сетки – округление и усечение. Среднее значение шума квантования  при округлении центрированное , а при усечении смещенное , где . Дисперсия шума квантования  для обоих способов равна

 

.                                                                                          (9)

 

Для удобства использования дисперсию шума квантования  выражают в логарифмическом масштабе [3]

                                    (10)

 

Таким образом, при обработке сигнала цифровым устройством будет получен результат, который содержит погрешность, связанную с неточностью входного сигнала. Эту погрешность называют трансформированной или наследственной. Для ее определения используют положения теории точности, на основе которых показано, что трансформированная погрешность вообще зависит не только от погрешностей входного сигнала, но и от величины входного сигнала [6].

Инструментальная (машинная) погрешность. Возникновения методической и трансформированной погрешностей показывает, что они определяют точность устройства независимо от способа вычислений в устройстве. Поэтому построение цифрового устройства и его структурная реализация определяют третью категорию погрешностей – инструментальную. Поскольку эта погрешность рассматривается для цифровых устройств и вычислительных машин, то ее называют также машинной.

Инструментальная погрешность зависит от

-          типа используемых аппаратных средств;

-          разрядной сетки, которая ограничивает точность арифметических операций;

-          формы представления чисел;

-          способа округления результатов вычислений;

-          структурной организации алгоритма вычислений и цифрового устройства.

При реализации цифрового фильтра коэффициенты  и  передаточной функции

,

 

должны быть представлены в двоичном коде. Для этого их нормализуют, чтобы  и , а затем квантуют. При этом возникает погрешность квантования коэффициентов, которая влияет на точность реализации частотных характеристик в виде дополнительной погрешности аппроксимации.

Погрешности квантования арифметических операций возникают в местах суммирования и умножения чисел. Если разрядность сетки устройства выбрана верно и при суммировании переполнения нет, то источниками шума можно считать операции умножения. Однако при анализе промежуточных результатов сложных алгоритмов обработки, которые имеют большое количество операций, возникает переполнение и при операции суммирования [12]. Поэтому для сложных алгоритмов обработки источниками погрешности квантования следует рассматривать и операции суммирования и операции умножения.

Если к -му узлу подключено  источников шума и каждый из них создает белый шум с дисперсией (9), то в соответствии с моделью Джексона дисперсия исходного шума  будет определяться как [2]

 

,                                                                              (11)

 

где  - количество узлов в устройстве,  - количество источников шума в -м узле,  - комплексный коэффициент передачи от -го узла к выходу устройства.

Коэффициент , который входит в формулу (9), в данном случае соответствует разрядности дробной части коэффициента.

Таким образом, на основе проведенного анализа и классификации выходной погрешности цифрового устройства можно распределить погрешности по таким категориям:

-           методическая: – погрешность на шаге;

-           трансформированная – погрешность квантования входного сигнала;

-           инструментальная:

        - погрешность квантования коэффициентов в процедуре обработки;

        - погрешность квантования результатов арифметических операций.

Анализ этих категорий с учетом причин возникновения этих погрешностей позволяет сделать следующие выводы:

1.        При проектировании цифрового устройства разработчик может влиять на методическую и инструментальную погрешности, учитывая трансформированную, как заданную и обусловленную при проектировании системы в целом.

2.        Уменьшение влияния методической погрешности возможно за счет выбора такого метода приближенных вычислений, когда характеристики проектируемого цифрового устройства наилучшим образом соответствуют желаемой характеристике при заданном критерии качества.

3.        Увеличения разрядности позволяет также уменьшить влияние методической погрешности, за счет уменьшения погрешности аппроксимации характеристик устройства, и трансформированной, за счет уменьшения погрешности квантования входного сигнала преобразователем. Но повышение разрядности ведет к повышению общего времени обработки операндов большой длины. А это требует использования быстродействующих микропроцессорных устройств с расширенной арифметикой и разрядной сеткой, что обуславливает применение больших материальных затрат.

4.        Поскольку, как показано выше, инструментальная погрешность зависит от количества двоичных разрядов, то их увеличения уменьшает вклад инструментальной погрешности на выходе устройства, но усложняет и удлиняет процесс обработки сигналов. Поэтому следует обратить внимание на структурную организацию процесса обработки сигналов, т.к. в выражении (11) второй множитель  определяется особенностями структурной организации процесса обработки. Тогда можно подобрать такую организацию процесса обработки, решая задачу оптимизации, чтобы этот множитель стремился к минимуму .

 

Errors of a output signal of the digital device are analyzed. The basic categories of errors are determined. Classification and the analysis of errors of digital devices is carried out. Sources of these errors and are shown a way their decrease.

 

1.                   Ситников В.С., Кисель А.Г. Аппаратное и программное обеспечение натурного эксперимента при проведении гидрофизических исследований // Акустика и ультразвуковая техника: Сб. научн. тр. – К.: Техніка, 1992. – Вып. 27. – С. 46-50.

2.                   Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1978. – 848 с.

3.                   Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

4.                   Системы цифрового управления самолетом. / А.Д. Александров, В.П. Андреев, В.М. Кейн и др.; Под ред В.Д. Александрова, С.М. Федотова. – М.: Машиностроение, 1983. – 223 с.

5.                   Таланчук П.М., Скрипник Ю.О., Дібровний В.О. засоби вимірювання в автоматичних інформаційних та керуючих системах. – К.: Райдуга, 1994. – 672 с.

6.                   Соренко Э.И., Телига А.И., Шаталов А.С. точность вычислительных устройств и алгоритмов. – М.: Машиностроение, 1976. – 200 с.

7.                   Шульц Ю. Электроизмерительная техника: справочник. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 288 с.

8.                   Грановский В.А. Динамические измерения: основы методологического обеспечения. – Л.: Энергоатомиздат, 1984. – 224 с.

9.                   Бахтиаров Г.Д., Малинин В.В., Школин В.П. Аналого-цифровое преобразование. – М.: Сов. радио, 1980. – 280 с.

10.                Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Техніка, 1989. – 182 с.

11.                Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. – СПб.: Политехника, 1999. – 592 с.

12.                Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.

 

 

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Ситников В.С. Оценка верхней границы ошибок квантования в цифровом фильтре с фиксированной точкой.

Усов А.В., Ситников В.С. Возможности построения передаточных функций линейных цифровых частотно-зависимых вторичных преобразователей по частотным характеристикам

Ситников В.С. Реализация цифрового фильтра высокого порядка в каскадной форме по критерию минимума выходного шума квантования.

Тверезовский В.С., Бараненко Р.В. Технические аспекты проектирования цифрового измерителя добротности варикапов

Бобриков С.А., Воевода А.Б., Лебедева Т.А. Расчет цифрового управляющего устройства для линейного объекта с запаздыванием

62 Инженерное дело. Техника в целом

Бабичева И.Ф., Шарко А.В. Использование нейросетевого классификатора в сис-темах дефектоскопии механических характеристик металлов.

Лубяный В.З., Голощапов С.С. Прямоотсчетные измерители расхождений емкостей

Рябченко И.Н. , Свиридов С.А. , Белик Р.А. Математическое моделирование физических процессов, протекающих в системах подачи и распределения воды в нештатных ситуациях.

Полякова М.В., Крылов В.Н. Обобщённые масштабные функции с компактным носителем в задаче сегментации изображений упорядоченных текстур. – C. 75 – 84.

Литвиненко В.И., Четырин С.П. Компенсация ошибок оператора в контуре управления следящей системы на основе синтезируемых вейвелет-сетей

Ходаков В.Е., Чёрный С.Г., Мартыновец С.Н. Формирование экспертных оценок при решении задач размещения производств

Структура, свойства и принципы УДК

67 Различные отрасли промышленности и ремесла. Механическая технология

Цифровые и дискретные системы управления

Кочкарьов Ю.О., Кущ С.О., Панаско О.М. Ефективна схемотехніка цифрових вузлів елемента додавання кон’юнкції

Клименко А.К. Об использовании дискретной обратной модели в системах с интегрирующим звеном

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи із цифровим регулятором на заданий показник коливності

Щокін В.П. Метод оцінки максимального запізнення елементів фільтрованого входу нейроемуляторів з зовнішньою динамікою

Ситников В.С., Брус А.А. Анализ коэффициентов перестраиваемого цифрового фильтра нижних частот второго порядка.

Бобриков С.А., Воевода А.Б., Лебедева Т.А. Расчет цифрового управляющего устройства для линейного объекта с запаздыванием

Усов А.В., Ситников В.С. Возможности построения передаточных функций линейных цифровых частотно-зависимых вторичных преобразователей по частотным характеристикам

Орлов В.В. Экономичная реализация обнаружителей сигналов на основе решетчатых фильтров

Ситников В.С. Реализация цифрового фильтра высокого порядка в каскадной форме по критерию минимума выходного шума квантования.

Орлов В.В. Влияние квантования обучающих выборок на эффективность цифровых адаптивных фильтров компенсации помех.

Ситников В.С. Оценка верхней границы ошибок квантования в цифровом фильтре с фиксированной точкой.