Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 621.6.677.49 – 472.2

ОЦЕНКА МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

НА ОСНОВЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБРАБОТКИ

Орлов В.В.

Широкое распространение в практике измерения параметров источников излучения различной физической природы получили системы пространственно разнесенных приемников с корреляционной обработкой. Для подобных систем, успешно применяющихся при анализе мощности на выходе интерферометров [1,2], получены выражения для оценок лишь в случае асимптотической аппроксимации процесса на выходе корреляционной обработки в виде нормального закона распределения вероятностей [1,3]. В связи с этим, представляет интерес получение точных выражений для плотности распределения вероятностей оценки мощности при конечной памяти усредняющего фильтра.

Целью настоящей статьи является анализ вероятностных характеристик корреляционных измерителей и определению требований к точности измерения при конечном размере обрабатываемой выборки.

Статистические характеристики сигналов и шумов

            Пусть сигнал от источника принимается на фоне изотропных шумов и имеет задержку  на одном из датчиков, обусловленную пространственным расположением источника излучения и базы из двух приемников. Будем полагать , что сигнал и шумы  представляют собой некоррелированные случайные процессы, подчиняющиеся гауссовому закону распределения вероятностей с нулевым средним и ковариационными матрицами временных отсчетов в первом и втором каналах:

,                            (1)

где -единичная матрица, - амплитудный множитель, определяющий отношение амплитуд сигналов , снимаемых со второго и первого датчиков

 .                              (2)

 При этом мощности смеси сигнала с помехой на выходах первого и второго  каналов, определяются выражениями:

            ; .                            (3)

В задаче измерения мощности случайного сигнала ее среднеквадратическое значение совпадает с выходным сигналом корреляционного обнаружителя :

                                   .                                                     (4)

Рассмотрим дискретную форму корреляционной обработки при конечном размере  усредняющего фильтра. Полагая, что для сигнала с верхней частотой спектра  Гц интервал дискретизации выбран в соответствии с теоремой Котельникова () и временная задержка в одном из каналов составляет целое число интервалов дискретизации , определим статистику (4) в виде:

 ,                                  (5)

где члены суммы  и  при  статистически независимы. Совместная плотность распределения отсчетов выборки  в отсутствии временной расстройки =0 нормальных зависимых случайных величин

                (6)

а их произведение  определяется плотностью распределения [3]

,      (7)

где , — функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента [4]. В частном случае, при одинаковых отношениях сигнал/шум в каналах =1, обозначим сигнал/шум , где

 ; ; .                      (8)

 Используя методику[2] для суммы произведений (5) для четного числа  отсчетов выборки с плотностями распределения вероятностей (7) получим распределение оценки мощности

,                        (9)

- модифицированная функция Бесселя третьего рода, описанная в [ 4, ф.10.2.15].

Для нахождения среднего и дисперсии оценки мощности необходимо провести ее усреднение путем интегрирования по плотности (9). При этом, первый и второй моменты статистики (5) и относительная погрешность имеют вид

 ; ; .                                (11)

 Анализ погрешности измерений мощности

 Заметим, что интегрирование (11) и дальнейшее проведение расчетов при >100 может оказаться затруднительным из-за вычислительных ошибок. В связи с этим, предлагается способ расчета по методике [1] согласно которой запишем выборочную оценку мощности (5) в виде

.                      (12)

Учитывая, что для входных отсчетов шумов, в виде независимых нормальных центрированных случайных величин, средние значения , , , а отсчетов сигналов – дисперсия и квадрат дисперсии нормального распределения , , то после преобразований получим, что оценка является несмещенной и ее среднее совпадает с мощностью сигнала .

 Для определения дисперсии оценки возведем (12) в квадрат:

         (13)

Средние значения частных сумм равны

                (14)

Второй начальный момент и дисперсия оценки определяются постановкой (14) в (13) и в (11)

                                             (15)

Окончательно погрешность оценки измерений определяется выражением

.                                               (16)

 Графики зависимостей погрешности измерения  от отношения сигнал/шум  и размера памяти фильтра  представлены на рис.1. Анализ зависимостей показал, что для достижения 10% точности в диапазоне отношений сигнал/шум <0 дБ необходим накопитель с памятью не менее N =1000 отсчетов. При более высоких требованиях к точности ε < 3% размер накопителя существенно возрастает и ограничивается сверху интервалом стационарности измеряемого процесса.

                                               а)                                                                    б)

Рис. 1  Графики зависимостей погрешности измерения  от отношения сигнал/шум  (а) и размера памяти фильтра  (б)

Выводы:

Получены общие выражения для плотности распределения оценки мощности на выходе системы пространственной корреляционной обработки. Проведен анализ статистических характеристик измерителей мощности, позволивший определить требования к точности измерений в зависимости от размера выборки измерителя и от входного отношения сигнал/шум.

1.                  Р. Томпсон, Дж. Моран, Дж. Свенсон. Интерферометрия и синтез в радиоастрономии: Пер. с англ. – М.: Наука, 1989. – 568с., илл.

2.                  Kenefic R.J., Barchak J.E. Exact Detection Performance for Broadband Correlators. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Mar. 1983, AES-19, pp.320-322.

3.                   Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга 1. – М., Радио и связь, 1974. – 552с.

4.                  Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям . – М.: Наука, 1979.