УДК 621.6.677.49 – 472.2

                Одним из методов приема сигналов с неизвестными параметрами на фоне стационарных помех является построение многоканальной адаптивной обработки сигналов, в которой пространство параметров сигнала охватывается полосовыми фильтрами, расставленными по заданному уровню перекрытия [1]. Наиболее часто они применяются для временной  обработки многоимпульсных сигналов с неизвестной частотой и при пространственной обработке с неизвестным направлением источника сигнала [2,3,4]. При этом принимаемый и опорный сигналы могут не совпадать, что может приводить к  снижению эффективности систем обнаружения и оценки параметров сигнала. Значительно большая  расстройка имеет место  в случае алгоритмов минимизации мощности помех [3], для которых формирование весового вектора осуществляется без учета априорных сведений о законе модуляции принимаемого сигнала.

В условиях коррелированных помех с неизвестными параметрами, адаптация весовых коэффициентов фильтров осуществляется на основе оценки ковариационной матрицы помех, полученной по конечному числу обучающих выборок [1]. При этом, как правило, имеет место изменение закона распределения вероятностей выходного процесса, определяющее снижение среднего отношения сигнал/помеха и увеличение дисперсии флюктуаций весовых коэффициентов фильтров, что в конечном итоге приводит к рассогласованию характеристик приемных каналов. Хотя в настоящее время подробно исследованы энергетические показатели эффективности при совпадении принимаемого и опорного сигналов [2]  и при их расстройке [3], но недостаточно внимания уделено анализу вероятностных характеристик и дисперсии флюктуаций отношения сигнал/помеха (с/п).

                В настоящей работе рассматриваются вероятностные характеристики адаптивных фильтров и исследуется влияние флюктуаций весовых коэффициентов на отношение сигнал/помеха. Для этого, сначала проводится анализ в отсутствии рассогласования сигналов, затем на основе [4] исследуются  погрешности из-за отсутствия априорных сведений о принимаемом сигнале.

1. Анализ  для известного принимаемого сигнала

                Полагается, что выборка помехи   в момент времени  представляется вектором  размера , который подчиняется комплексному гауссову распределению с нулевым средним и ковариационной матрицей  размера , где *,T – знаки комплексного сопряжения и транспонирования. Опорный вектор и вектор принимаемого сигнала  при пространственной обработке определяются  взаимным расположением сенсоров и источника сигнала, а в случае временной обработки - частотами и задержками импульсов. Вектор весовых коэффициентов, равный   с точностью до постоянного множителя  максимизирует с/п  при . Тогда на выходе фильтра определим мощности сигнала , помехи  и с/п  в виде

;                                ;    , (1)

которое при  максимизирует с/п, составляющее .

В условиях априорной неопределенности о параметрах помехи, ковариационная матрица помехи заменяется ее максимально правдоподобной оценкой по  независимым выборкам помехи

.                                                  (2)

При этом оценка весового вектора  определяет с/п, нормированное к потенциальному значению, имеющее вид

.                     (3)

Оценка с/п (3), исследовалась в [2], где было установлено, что она подчиняется   b - распределению вида

    ,         0<<1,                         (4)

Среднее значение  и дисперсия (4) являются мерой эффективности вызванных адаптацией потерь по отношению к оптимальному решению

;          ,          (5)

и не зависят от полезного сигнала и корреляционных свойств помехи, а определяется только размером фильтра -1 и объёмом обучающей выборки .

Тогда интервальная оценка в виде вероятности   уменьшения с/п ниже величины  определяется интегральной функцией  от (4) и на основе свойств  b-распределения 

[5]  представима в виде

                     (6)

На основе интегральной функции вероятности (6) нетрудно рассчитать вероятность попадания с/п ниже уровня 3 дБ потерь (=0,5), которая быстро спадает с увеличением числа обучающих выборок,  Так например,  для >3 и =0,5   если при  =0,5, то при большем числе выборок   =0,0196, при  =0,0032.

2. Анализ для рассогласованных опорных и принимаемых сигналов

На практике расстановка каналов осуществляется по уровню перекрытия полос пропускания, составляющего не менее половинной мощности –3 дБ уровень  потерь =2. Другой подход, основанный на одноканальном построении, реализуется опорным вектором  и так как при этом не осуществляется когерентного накопления  отсчетов,  то его потери приближаются к величине .

Для обоих фильтров, аналогично (3), представим  нормированное с/п при

                                                                           (7)

и исследуем его вероятностные характеристики в соответствии с методикой [4].

                Для этого применим разложение ковариационной матрицы и вводя унитарную матрицу  размера  такую, что

 , ,                                  (8)

где ,  - скаляры, матрицаподчиняется комплексному распределению Уишарта. Применяя дополнительную унитарную матрицу   размера , такую, что

, получим вектор вида . Тогда после преобразований (7) используя (8), получим

,    .                                                       (9)

                Для нахождения распределения  необходимо сначала определить характеристики составляющих (9). Обозначив детерминированный параметр

 (10)

и используя известное выражение [2] плотности распределения вероятности вектора

,                                        (11)

определим совместную плотность зависимых величин и , полагая, что

 . После преобразований плотности распределения вероятности с точностью до - нормирующего множителя имеет вид

                                                                   (12)

                Теперь, чтобы найти распределение  необходимо выполнить над (12) функциональные преобразования случайных величин в соответствии с (9). Для этого переходя к новым случайным величинам и исходя из равенства дифференциалов

 после преобразований, с точностью до нормирующего множителя получим, что плотность распределения  искомой величины  зависит от неинформативных случайных параметров  и

                (13)

Для устранения мешающих параметров в (13) необходимо интегрировать

по всей области значений  и . Учитывая, что  представляется в виде

,

причем , то область интегрирования ограничивается неравенством

.                                                                                (14)

Для определения раздельных интервалов интегрирования  делаем замены переменных

; и введем обозначения

;            .

Тогда безусловная плотность распределения  определяется в результате интегрирования

                       (15)

где область интегрирования   определяется для всех , удовлетворяющих неравенствам

      или                                                                 (16)

При этом, внутренний интеграл по переменной  определяется из [6, ф.2.5.16.37]

,    (17)

где фигурные скобки определяют области интегрирования. Внешний интеграл определяется от степенной функции в области (16). После громоздких преобразований в (15), приходим

,   (18)

где - интервал допустимых значений.

3. Исследование эффективности

                Рассмотрим примеры плотностей распределения на выходе адаптивного фильтра максимизации с/п размера =5 при совпадении сигналов , =1, представленные на рис.1 и различии ,=2 на рис.2.

                                                Рис. 1                                                                                                 Рис. 2

Из анализа зависимостей следует, что  увеличение расстройки >1 больше сказывается на увеличении дисперсии с/п, а среднее менее подвержено влиянию ограниченного числа обучающих выборок. Кроме того, что область возможных значений с/п не ограничена сверху  , а расширяется до потенциального возможного значения  , достигаемого при совпадении принимаемого и опорного сигналов.

Как видно, существенное различие дисперсии распределений  может приводить к увеличению вероятности попадания ниже допустимого с/п. Эта вероятность определяется интегрированием (18) с использованием обозначений (6)

      ,                (19)

                Установлено, что при>3 вероятность попадания с/п ниже уровня 3 дБ (=0,5) составляет =0,09 для  числа выборок , а при  =0,06. Следовательно, сходимость  по вероятности существенно ниже, чем при известном сигнале.

Среднее  и дисперсия  определяются выражениями

;            (20)

Заметим, что для алгоритмов минимизации мощности помех с опорным вектором , потери которого близки к   по отношению к оптимальному алгоритму, среднее  и дисперсия  определяются приближенными выражениями

                ;                               ,                                         (21)

а среднее   при  практически не зависит от числа обучающих выборок. Из сравнения дисперсий в (5) и (21) следует, что при совпадении принимаемого сигнала с опорным дисперсия с ростом  снижается по закону  , тогда как при расстройке - значительно медленнее, по закону .

                Графики зависимости среднего  и дисперсии , построенные в соответствии с (20) для фильтра размера =5 при =1;2; показаны соответственно на рис.3 и рис.4.

                                             Рис. 3                                                                                                     Рис. 4

                Из графиков следует, что при расстройке   имеет место существенное увеличение дисперсии и ее низкая скорость сходимости. При перекрытии каналов по уровню -3 дБ сходимость среднего изменяется незначительно, а дисперсия возрастает почти в 3 раза при . Для одноканального фильтра минимизации мощности помех сходимость среднего не ухудшается, а дисперсия возрастает на порядок и более. Учитывая при  близость законов распределения с/п  к симметричной форме можно охарактеризовать применимость адаптивных фильтров для обнаружения и оценки параметров. Учет вероятностных характеристик с/п показал, что влияние расстройки параметров незначительно сказывается на эффективности алгоритмов обнаружения сигналов с флюктуирующей амплитудой. Однако для алгоритмов оценки параметров сигнала увеличение дисперсии с/п существенно снижает эффективность измерителей.

Выводы

                Проведенные исследования адаптивных фильтров позволили уточнить следующие особенности проектирования систем обработки сигналов с неполностью известными параметрами:

1.        Для систем многоканальной обработки при перекрытии каналов по уровню половинной мощности получены сходимость среднего с/п практически не изменяется, а интервальные оценки и дисперсия с/п возрастают в несколько раз.

2.        Для одноканальных адаптивных фильтров, не учитывающих закон модуляции полезного сигнала, сходимость среднего с/п практически не зависит от числа обучающих выборок, а дисперсия возрастает на порядок и более.

3.        Расстройка принимаемого и опорного сигналов незначительно сказывается на эффективности алгоритмов обнаружения сигналов с флюктуирующей амплитудой, но существенно снижает эффективность алгоритмов оценки параметров сигнала.

1.                   Монзинго П.А., Миллер Г.У. Адаптивные антенные решётки: введение в теорию: Пер. с англ./ Под ред. В.А. Лексаченко.- М.: Радио и связь, 1986.-448 с.

2.                   Reed I.S., Mallet J.D., Brennan L.E. Rapid Convergence Rate in Adaptive Arrays. IEEE Trans: AES-10. –1974. –N 6. –p 853-863.

3.                   Баранов П.Е. Сходимость адаптивных фильтров с произвольным опорным вектором и различными корреляционными матрицами обучающего и обрабатываемого процессов //Изв. вузов СССР: Радиоэлектроника.– 1992. №4.–С.18-23.

4.                   Boroson D.M. Sample Size Considerations for Adaptive Arrays. IEEE Trans: AES-16. –1980. –N 4. –p 446-851.

5.                   Справочник по специальным функциям.:  Пер.  с  англ.  /Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. - М.: Наука,1979.- 832c.

6.                   Интегралы и ряды. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.М.-М.: Наука, 1981.