УДК 621.372.54.001.5

В состав современных систем управления для фильтрации помех включаются фильтры высокого порядка. Такие фильтры в основном проектируются на основе последовательного соединения фильтров первого и второго порядков, т.к. при этом упрощается настройка фильтра и его реализация. Однако при таком соединении фильтров трудно решить: какие полюсы, с какими нулями нужно объединять в пары; в какой последовательности необходимо располагать отдельные блоки первого и второго порядков; каким образом вводить масштабирующие множители между отдельными блоками, чтобы выходные величины были не слишком большими и не слишком малыми; как уменьшить уровень выходного шума квантования.

Общие рекомендации для решения этих вопросов даны в работе [1], а в математическом пакете MATLAB имеется команда tf2sos [2], которая преобразует коэффициенты полиномов числителя и знаменателя передаточной функции цифрового фильтра высокого порядка в секции фильтров второго порядка.

Предложенные общие рекомендации не в полной мере учитывают влияние разных классов и типов фильтров на уровень выходного шума округления. Минимизация уровня выходного шума округления фильтра высокого порядка позволяет повысить качество фильтрации, за счет уменьшения общего уровня шумов.

Поэтому целью данной работы является анализ реализации цифрового фильтра высокого порядка каскадным соединением секций низкого порядка при обеспечении минимума выходного шума квантования.

На основе линейной модели учета шума квантования при реализации фильтров на микропроцессорах с фиксированной точкой дисперсии шумов квантования входного сигнала  и коэффициентов фильтра  определяются как [1]

; ,                                                       (1)

где  и  - количество двоичных разрядов мантиссы соответственно входного сигнала и коэффициентов фильтра.

Тогда некоррелированные входной сигнал и шум квантования при прохождении через линейный фильтр рассматриваются независимо друг от друга. Дисперсия шума квантования входного сигнала  в полосе пропускания фильтра  имеет вид

.                              (2)

Учет шума квантования коэффициентов фильтра и арифметических операций выполняется на основе шумовой модели Джексона [1]. Анализ ее позволил найти квадрат коэффициента усиления шума , который зависит от коэффициентов фильтра и от его структурной организации [3]. По аналогии с (2) вводится усредненный в полосе пропускания коэффициент усиления шума  [4]

,

а дисперсия шума квантования коэффициентов и арифметических операций фильтра в этом случае равна

.                                (3)

Тогда при некоррелированности шума на выходе фильтра получим

.                                             (4)

Оценивая дисперсию шума на выходе фильтра по величине дисперсии, прохождения шума квантования входного сигнала через фильтр, можно (4) записать

.                                        (5)

В (5) выражение в квадратных скобках является коэффициентом усиления шумов квантования. Минимизация отношения  позволяет получить минимум усиления шумов квантования на выходе устройства. Однако данная задача не проста, т.к. это отношение зависит прямо пропорционально от особенностей структурной организации фильтра и разрядности мантиссы коэффициентов фильтра и обратно пропорционально от класса и типа фильтра, а также от разрядности входного сигнала. Следует отметить, что однозначного формализованного математического описания влияния структурной организации фильтра нет. Имеются только некоторые подходы к решению этой задачи. Поэтому целесообразно наложить ограничение на это отношение так, чтобы оно было меньше некоторого заданного

.                                                            (6)

Рассмотрим получение дисперсий  и для каскадного соединения нескольких фильтров.

Дисперсия выходного шума квантования  последовательно соединенных АЦП и фильтра в соответствии с формулами (2), (3) и (4) равна

,                                              (7)

где  и  - усредненные в полосе пропускания фильтра  соответствующие коэффициенты усиления фильтра и усиления шума структуры фильтра;  и  - дисперсии шумов квантования входного сигнала и коэффициентов фильтра.

Поскольку дисперсии  и  определяются аналогично (1), то вводится общая разрядность  и параметр , тогда  и  [5]. Отношение дисперсий  с учетом выше сказанного обозначим как

.                                                    (8)

Коэффициент  при реализации фильтра постоянен и определяется выбранной разрядностью входного сигнала и коэффициентов фильтра. Подставляя (8) в (7) запишем

.                                                     (9)

Из формулы (9) следует, что , если  или

,                                                                     (10)

т.е. количество двоичных разрядов мантиссы входного сигнала должно быть меньше количества двоичных разрядов мантиссы коэффициентов фильтра, рисунок 1.

Рис. 1 Зависимость коэффициента  от параметра

1 -  бит; 2 –  бит; 3 -  бита; 4 -  бита

Из рисунка 1 видно, что для обеспечения коэффициента  на уровне 0.1 и меньше необходимо, чтобы параметр , тогда  и .

При каскадном соединении АЦП и двух фильтров дисперсия выходного шума квантования второго фильтра  по аналогии с (4) и (7) будет равна

.                                                        (11)

Подставляя дисперсию  из (7) в (11) и преобразовывая с учетом (8) получим

.                         (12)

Обобщая соотношение (12) на случай  каскадно-соединенных фильтров запишем дисперсию выходного шума квантования  -го фильтра

                                            (13)

В (13) дисперсия , а дисперсия  отражает дисперсию выходного шума квантования  входного сигнала на выходе -го фильтра, тогда выражение

                                                   (14)

можно рассматривать как коэффициент усиления шума квантования в соответствие с (5), которое объединяет в себе особенности структурной организации секций фильтров и их соединение, а также класса и типа фильтров.

В работе рассмотрены наиболее распространенные типы фильтров: Баттерворта – В, инверсный Чебышева – І, Чебышева – Т, эллиптический – С. Среди классов фильтров приведены данные по фильтрам нижних – ФНЧ и верхних – ФВЧ частот, а также полосовых – ПФ и режекторных – РФ фильтров. Анализ коэффициентов усиления  и  от класса и типа фильтра для канонической структуры фильтра минимальной размерности с сосредоточенными источниками шума показывает, что отношения  и  имеют наклон и в первом приближении могут быть описаны линейно, рисунки 2, 3, 4, 5. На рисунках линии 1 и 2 отображают отношение  соответственно для фильтров инверсного Чебышева и Баттерворта (а), Чебышева и эллиптического (б), а линии 3 и 4 отношение  - соответственно для фильтров инверсного Чебышева и Баттерворта (а), Чебышева и эллиптического (б).

                          а)                                                                               б)

Рис. 2 Зависимости отношений  и  от частоты среза ФНЧ для фильтров с монотонной (а) и равноволновой (б) АЧХ

                                   а)                                                                               б)

Рис. 3 Зависимость отношений  и  от частоты среза ФВЧ для фильтров с монотонной (а) и равноволновой (б) АЧХ

а)                                                                               б)

Рис. 4 Зависимость отношений  и  от частоты среза ПФ для фильтров с монотонной (а) и равноволновой (б) АЧХ

а)                                                                    б)

Рис. 5 Зависимость отношений  и  от частоты среза РФ для фильтров с монотонной (а) и равноволновой (б) АЧХ

Усредненные значения отношений  и , а также максимальная погрешность на краях относительно среднего значения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Усредненные значения отношений  и

Из приведенных рисунков и таблицы 1 следует, что характер поведения рассматриваемых отношений одинаков для классов фильтров ФНЧ и ПФ, а также ФВЧ и РФ. Фильтры с равноволновой АЧХ в полосе пропускания имеют близкие значения с малыми погрешностями, в то время как фильтры с монотонной АЧХ можно разбить на группу ФНЧ и ФВЧ, а также на – ПФ и РФ. При этом фильтр инверсный Чебышева имеет больший разброс значений, чем фильтр Баттерворта. На основании общего анализа приведенных характеристик для минимизации выходного шума необходимо секции фильтров каскадировать так, чтобы

.

Тогда в зависимости от ширины полосы пропускания фильтра, полученное соотношение на основании рисунков 2, 3, 4 и 5 можно записать в понятиях “широкополосная” секция (Ш) и “узкополосная” секция (У) как приведено в таблице 2.

Из таблицы 2 следует, что при таком каскадном соединении фильтров проявляются фильтрующие свойства последующего фильтра, т.е. каждый последующий фильтр отфильтровывает структурный шум предыдущего фильтра.

Из формул (5), (6) и (14) запишем

,                                                                     (15)

где .

Таблица 2

Положение секций фильтров при их каскадном соединении

Подставляя (8) в (15) и преобразовывая, получим, рисунок 6

 .                                                          (17)

Рис. 6 Зависимость количества разрядов мантиссы коэффициентов фильтра Баттерворта от числа  каскадно-соединенных фильтров при

1 -  бит; 2 –  бит; 3 -  бита

Из рисунка 6 видно, что при увеличении  на 8 разрядов  увеличивается в среднем в 1.25…1.33 раза.

Для оценки величины  воспользуемся усредненными значениями  и  из таблицы 1. Тогда  из (16) будет равно

.                                                              (18)

В (18) сумму можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем прогрессии . Тогда сумма  членов прогрессии равна [6]

.                                                (19)

Подставляя сумму  членов геометрической прогрессии (19) в (18) получим, рисунок 7

.                                                              (20)

Рис. 7 Зависимость коэффициента  фильтра Баттерворта от числа  каскадно-соединенных фильтров

Из рисунка 7 следует, что коэффициент  имеет значения десятки-сотни единиц. Тогда для обеспечения  коэффициент , для фильтров низкого порядка, должен быть меньше 0.01, а для фильтров высокого порядка на порядок меньше, т.е. параметр , тогда  и . Уменьшить уровень выходного шума можно и за счет поиска малошумящей структуры в сочетании с выбранным классом и типом фильтра. Усредненные значения коэффициента , рассчитанные по значения таблицы 1, приведены в таблице 2.

Таким образом, при построении фильтров высокого порядка каскадное соединение фильтров необходимо проектировать с учетом свойств класса и типа, используемых фильтров второго порядка, а также их структурной организации. Кроме того, для минимизации выходного шума квантования разрядность коэффициентов, используемых фильтров, должна быть больше разрядности входного сигнала в 1.5-2 раза. Однако существует и другой путь минимизации выходного шума квантования за счет поиска или синтеза структурной организации фильтра с минимальным уровнем выходного шума квантования.

1.                  Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир. 1978. - 848 с.

2.                  Сергиенко А.Б. Цифрова обработка сигналов.- СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

3.                  Ситников В.С. Количественная оценка структуры цифровой системы //Міжнар. конф. “Кораблебудування: освіта, наука, виробництво”: матер. конф.(м. Миколаїв, 24-25 вересня 2002 р.).- Т.ІІ.- Миколаїв, 2002.- С.223-226.

4.                  Ситников В.С. Оценка верхней границы ошибок квантования в цифровом фильтре с фиксированной точкой // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы (ААЭКС). – Херсон, 2003. - №1(11). – С. 71-78

5.                  Орлов В.В., Ситников В.С. Оптимизация цифрового адаптивного фильтра по критерию точность-быстродействие // Електромашинобуд. та електрообладн. – 2003.- Вип. 61.- С. 24-31

6.                  Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- М.: Наука, 1980.- 976 с.