УДК 681.5.01

В современных технических системах широко используются локальные системы автоматического контроля и управления. Локализация таких систем непосредственно на объекте управления ставит задачу миниатюризации аппаратной части системы при обеспечении высокой точности контроля и управления. Важной особенностью таких систем является обработка сигналов в темпе их поступления, чтобы исключить информационные потери. Такой режим работы, режим реального времени, предъявляет жесткие ограничения как на время решения задач приема, преобразования, фильтрации, обработки и принятия решения, так и на скорости информационного обмена [1].

Применение микропроцессорной техники позволяет решить задачу миниатюризации аппаратной части системы, однако режим реального времени требует высокого быстродействия используемых устройств, что обуславливает применение устройств с фиксированной точкой и ограниченной разрядной сеткой. Переход к цифровым методам обработки и схемотехнике приводит к появлению специфических ошибок – ошибок квантования [2]. При этом нецелесообразно использовать алгоритмы фильтрации и обработки сигналов высоких порядков из-за накопления вычислительных ошибок.

Квантование усложняет характер протекания динамических процессов и в первом приближении цифровые системы, рассматриваются как импульсные с последующим учетом влияния квантования по уровню, в виде дополнительных шумов квантования [2].

Анализ и получение оценки верхней границы ошибок квантования в микропроцессорных системах фильтрации и обработки сигналов с фиксированной точкой и ограниченной разрядной сеткой позволит учесть вес ошибок при анализе точности системы контроля и управления.

Цифровая фильтрация и обработка сигналов выполняется обычно цифровыми фильтрами. Основными источниками ошибок квантования могут быть:

- квантование входного сигнала в устройствах преобразования из аналогового вида в цифровой;

- квантование коэффициентов процедуры фильтрации и обработки сигналов;

- квантование арифметических операций в устройстве, выполняющем процедуру фильтрации и обработки сигналов.

Преобразование аналогового сигнала в цифровой осуществляется в аналого-цифровом преобразователе. Теоретически установлено, что квантование с линейной шкалой приводит к возникновению методической погрешности, называемой шумом квантования. Максимальное значение этой погрешности равно  единицы младшего разряда, а дисперсия  при работе со случайными процессами равна приближенно [3]

,

где  - шаг квантования;  - среднеквадратическое отклонение.

Однако этот результат относится к идеальным АЦП, у которых характеристика квантования, представляющая собой зависимость выходного кода от , при числе разрядов  имеет  ступеней, а шаг квантования  постоянен по всей характеристике.

Характеристики квантования реальных АЦП отличаются от идеальных из-за наличия неизбежных аппаратурных погрешностей, обусловленных несовершенством отдельных элементов преобразователей, уходом параметров в зависимости от времени, температуры, нестабильности источников питания и т.п. Общее число источников, вызывающих аппаратурные погрешности, всегда велико и зависит лишь от того, насколько малую погрешность должен обеспечивать АЦП, т.е. от класса точности данного АЦП.

Поэтому для анализа ошибок квантования может быть построена нелинейная модель квантования конкретного АЦП, учитывающая нелинейные процессы квантования и влияния дестабилизирующих факторов схемы конкретного АЦП, и линейная модель квантования, которая приближенно, но с достаточной достоверностью, описывает процесс квантования [2, 4, 5].

Воспользуемся линейной моделью формирования выходного сигнала АЦП, состоящей из дискретизатора, который с периодом дискретизации  из аналогового сигнала  формирует дискретный сигнал , и сумматора, который добавляет ошибку квантования по уровню  для формирования выходного цифрового сигнала  [6].

Для сопряжения АЦП с компьютерной системой применяются прямой (CSB) и дополнительный (CTC) двоичные коды: прямой - для униполярных сигналов и дополнительный - для биполярных сигналов. При разрядности  в прямом двоичном коде используются все разряды для кодирования входного сигнала , а в дополнительном коде один разряд выделяется для знака и  разрядов для кодирования величины сигнала, т.е. .

При анализе ошибок квантования делается допущение, что ошибка равновероятна в пределах шага квантования и тогда ошибку квантования рассматривают как случайную величину с равномерной плотностью распределения [2]. Квантование может выполняться двумя способа – округлением и усечением. Среднее значение шума квантования  при округлении центрировано , а при усечении смещено , где . Дисперсия шума квантования  для обоих способов равна

.                                                                                         (1)

Для удобства использования дисперсии шума квантования  ее выражают в логарифмическом масштабе [4]

                                     (2)

Анализ отечественных и зарубежных АЦП фирм Texas Instruments, Motorola, National Semiconductor, Linear Technology, Philips, Analog Devices, Maxim Integrated Products, Burr-Brown Corporation показал, что типовая разрядность АЦП составляет 8-, 10- и 12-разрядов, а также 14-, 16-, 18- и 24-разрядные [7, 8, 9]. Тогда оценку дисперсии ошибки квантования при различной разрядности АЦП можно рассчитать по формулам (1) и (2) для униполярных и биполярных сигналов, таблица 1.

Таблица 1

Оценка дисперсии шума квантования преобразователей

Обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговый выполняется после управляющего устройства и поэтому для оценки ошибки квантования устройства фильтрации и обработки это преобразование можно опустить.

Однако ошибка квантования возникает, если число разрядов ЦАП меньше числа разрядов управляющего устройства . Выпускаются ЦАП с разрядностью 8-, 10- и 12-разрядов, однако встречаются и 14-, 16-, 18- и 20-разрядные [8, 9].

Линейная модель ошибки квантования в этом случае представляется в виде ошибки (1) или (2) при  равном разрядности ЦАП, таблица 1.

При реализации цифрового фильтра коэффициенты  и  его передаточной функции

,

должны быть представлены в двоичном коде. Для этого их нормализуют так, чтобы  и , а затем квантуют. При этом возникает ошибка квантования представления коэффициентов, которая влияет на точность реализации частотных характеристик в виде дополнительной погрешности аппроксимации.

В зависимости от вида аппроксимирующей функции известны четыре типа фильтров – Баттерворта (B), Чебышева (T), инверсный Чебышева (I) эллиптический (C). По виду АЧХ в полосе пропускания (ПП) их можно разделить на две группы

- с монотонной АЧХ – фильтры Баттерворта и инверсный Чебышева;

- с равноволновой АЧХ – фильтры Чебышева и эллиптический.

Для оценки влияния разрядности представления коэффициентов фильтра  на погрешность АЧХ исследована относительная погрешность АЧХ  на уровне 1%

,

где  - нормированная цифровая частота, ,  - текущая угловая частота,  - период дискретизации, ,  - соответственно АЧХ с квантованными и идеальными коэффициентами.

Результаты исследования приведены в таблице 2, где указана разрядность дробной части коэффициентов  и  и соответствующий ей диапазон нормированных частот среза  для фильтров нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот, а также ширина полосы пропускания и полосы задержания  для полосовых (ПФ) и режекторных (РФ) фильтров. Для обеспечения минимальной разрядности коэффициентов фильтра их частоты среза для ФНЧ и ФВЧ, а также полосы пропускания и задержания для ПФ и РФ должны находиться в диапазоне .

Таблица 2

Разрядность коэффициентов фильтра

В исследовании уровень колебательности АЧХ в полосе пропускания для фильтров Чебышева и эллиптического задавался равным 1дБ, а в полосе задержания для фильтров инверсного Чебышева и эллиптического -20дБ. Следует также отметить, что порядок фильтров ПФ и РФ в два раза выше .

Поскольку фильтры высокого порядка обычно строят на фильтрах низкого порядка, то целесообразно ориентироваться на фильтры второго порядка. Однако при каскадном соединении фильтров низкого порядка разрядность их коэффициентов на один-два разряда выше.

Ошибки квантования арифметических операций возникают в местах суммирования и умножения. Если разрядная сетка устройства выбрана правильно и при суммировании переполнения не возникают, то источниками шума можно считать операции умножения. Однако при анализе промежуточных результатов алгоритма обработки возникают переполнения и при операции суммирования [10]. Поэтому источниками ошибки квантования следует рассматривать и суммирование и умножение.

Если к -му узлу подключены  источников шума и каждый из них создает белый шум с дисперсией (1), то в соответствии с моделью Джексона дисперсия выходного шума  будет определяться как [2]

,                                                              (3)

где  - количество узлов в устройстве,  - количество источников шума в -м узле,  - комплексный коэффициент передачи от -го узла до выхода устройства. Коэффициент , входящий в формулу (1), в данном случае соответствует разрядности дробной части коэффициента.

Из выражения (3) выделяют квадрат коэффициента усиления шума  [11]

,

который зависит от коэффициентов передаточной функции  и , а также структурной организации устройства, т.е. этот шум присущ структуре устройства и его называют структурным шумом [12].

Поскольку коэффициент усиления шума частотно-зависимый, то его определяют в полосе пропускания полезного сигнала, чтобы при минимизации его уменьшить долю дополнительного шума в полезном сигнале на выходе устройства [13]. Тогда для удобства пользования вводится усредненный в полосе пропускания коэффициент усиления шума

,

где  - ширина полосы пропускания.

В этом случае дисперсия выходного шума квантования равна

                                                                                        (4)

или в логарифмическом масштабе, таблица 3

Поскольку , то . В таблице 3, например, выходной шум арифметических операций приведен для канонической структуры цифрового фильтра второго порядка (ФНЧ, ФВЧ) и каскадного соединения двух фильтров второго порядка (ПФ, РФ) минимальной размерности с сосредоточенными источниками шума [14]. Разрядность дробной части коэффициентов передаточной функции  взята минимальной, чтобы обеспечить  для ФНЧ и ФВЧ и  - для ПФ и РФ. Значения дисперсии шума  рассчитана для биполярных сигналов при условии, что разрядность дробных частей входного сигнала и коэффициентов равны. Значение дисперсии шума для униполярных сигналов на 6 дБ меньше.

В результате на выходе цифрового фильтра будет формироваться дискретный сигнал ошибки от прохождения шума квантования входного сигнала через цифровой фильтр в полосе пропускания, дисперсия которого равна [2]

                                        (5)

и от структурного шума цифрового фильтра, дисперсия которого определяется по формуле (4).

Таблица 3

Оценка дисперсии выходного шума (дБ)

При некоррелированности шума выходной шум цифрового фильтра будет равен

.

Подставляя формулы (4) и (5) получим

.                       (6)

Из (6) следует, что минимальное значение суммарного шума зависит от соотношения усредненных в полосе пропускания коэффициентов  и . В таблице 3 для сравнения приведены значения , и . Тогда можно отметить, что:

- усредненный в полосе пропускания коэффициент усиления шума значительно больше усредненного в полосе пропускания коэффициента усиления фильтра - ;

- дисперсия прохождения шума квантования входного сигнала через цифровой фильтр  на порядок меньше дисперсии выходного шума квантования арифметических операций ;

- дисперсия выходного шума цифрового фильтра  можно оценить по величине дисперсии выходного шума квантования арифметических операций , т.е. .

Таким образом, верхняя граница ошибок квантования определяется ошибками квантования арифметических операций. При заданных коэффициентах процедуры фильтрации и обработки сигналов  и  и их разрядности  ошибки квантования арифметических операций определяется коэффициентом усиления шума  и зависит от структурной организации процедуры обработки.

1.                   Ситников В.С., Кисель А.Г. Аппаратное и программное обеспечение натурного эксперимента при проведении гидрофизических исследований. // Акустика и ультразвуковая техника: Сб. научн. тр. – Київ: Техніка, 1992. – Вып. 27. – С. 46–50.

2.                   Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир. 1978. – 848 с.

3.                   Бахтиаров Г.Д., Малинин В.В., Школин В.П. Аналого-цифровые преобразователи. – М.: Сов. Радио, 1980. – 280 с.

4.                   Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

5.                   Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Техніка, 1989. – 182 с.

6.                   Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. – СПб.: Политехника, 1999. – 592 с.

7.                   Интегральные микросхемы: Микросхемы для аналого-цифрового преобразования и средств мультимедиа. Выпуск 1.– М.: ДОДЭКА, 1996. – 384 с.

8.                   Силовые и аналоговые электронные компоненты: Краткий справочник. – Киев: ООО “БИС-электроник”, 2000. – 60 с.

9.                   Каталог VD MAIS 2001-2002: Микросхемы Analog Devices. – Киев: VD MAIS, 2001. – 92 с.

10.                Сергиенко А.Б. Цифрова обработка сигналов.- СПб.: Питер, 2002. – 608 с.

11.                Ситников В.С. Выбор наилучшей структуры цифровой системы. // Тр. Одесск. политехн. ун-та. – Одесса, 2001. – Вып. 3(15). – С. 131–133.

12.                Ситников В.С. Количественная оценка структуры цифровой системы. // Міжнар. конф. “Кораблебудування: освіта, наука, виробництво”: матер. конф. (м. Миколаїв, 24-25 вересня 2002р.) – Т. ІІ. – Миколаїв, 2002. – С. 223–226.

13.                Малахов В.П., Ситников В.С., Ступень П.В., Ульяшин С.В. Выбор структуры цифрового фильтра по уровню выходного шума округления. // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. – 2001. – № 2. – С.17–22.

14.                Ситников В.С., Шумейко К.П. Применение цифровых фильтров в системах защиты речевых сообщений. // Праці УНДІРТ. – Одеса, 2003. – №1(33). – С. 62–65.