УДК 621.372.542
ВЛИЯНИЕ КВАНТОВАНИЯ ОБУЧАЮЩИХ ВЫБОРОК
НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЦИФРОВЫХ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
КОМПЕНСАЦИИ ПОМЕХ
Орлов В.В.
Повышение качества выделения сигналов на фоне коррелированных помех с неизвестными параметрами является одной из актуальних проблем цифровой обработки сигналов [1,2]. Отличительная особенность таких задач связана с необходимостью их решения в условиях априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки, для преодоления которой широко применяется адаптивный подход с использованием обучающих выборок [2].
В настоящее время методы адаптации цифровых фильтров на основе измерения корреляционных свойств помех достаточно широко известны [2,3,4] и разделяются, в основном, на градиентные алгоритмы формирования весовых коэффициентов и прямые методы адаптации с непосредственным обращением выборочной ковариационной матрицы помех.
Квантование входного сигнала, а также результатов арифметических операций является источником появления ошибок [3,4], приводящих к образованию нескомпенсированных остатков помехи, а также к повышению флюктуаций полезных сигналов. Если для градиентных алгоритмов существуют методики оценки ошибок квантования [4,5], то в случае непосредственного обращения ковариационной матрицы не получено граничных условий по выбору разрядности представления входных данных.
В настоящей статье рассматривается эффективность адаптивных фильтров с квантованием выборок входного процесса, применяемых для оценивания ковариационной матрицы помех и исследуются требования, предъявляемые к числу двоичных разрядов.
1. Модель сигнально- помеховой обстановки
Обычно полагается, что обучение фильтров является классифицированным и независимым [2,6]. То есть, при классифицированном обучении полезный сигнал не попадает ни в одну из 
обучающих выборок размера 
входного процесса, содержащего только статистически однородные выборки помехи 
. Независимое обучение обеспечивается выбором обрабатываемого вектора входного процесса, не используемого для обучения фильтра.
Рассматривается фильтр, максимизирующий отношение сигнал/помеха 
в случае ожидаемого сигнала 
на фоне нормально распределенной помехи с ковариационной матрицей 
. Для уменьшения зависимости коэффициента усиления фильтра от корреляционных свойств сигнально-помеховой обстановки необходимо определить ограничение на вектор весовых коэффициентов 
, обеспечивающий максимум отношения мощности сигнала 
к мощности помехи 
,
при ограничении 
, (1)
где 
— ковариационная матрица размера 
помехи; — опорный сигнал, совпадающий с принимаемым. Тогда решение (1) доставляется вектором фильтра
; (2)
В отсутствие априорных сведений о помехе для определения ее характеристик применяется адаптивный байесов подход [2,5,6], в соответствии с которым в весовой вектор (1) подставляется максимально правдоподобная оценка ковариационной матрицы помехи
, (3)
полученные по выборкам входного процесса.
Предложенные модели позволяют перейти к исследованию погрешностей реализации, связанных с оцифровкой входных выборок помехи.
2. Расчетные соотношения с учетом квантования
После аналогово-цифрового преобразования представим искаженный вектор помехи моделью аддитивной смеси входного вектора помехи и дискретного шума квантования [1]. Если шаг квантования соотношение выбран намного меньшим по сравнению со среднеквадратическим значением входного процесса, то взаимная корреляция шумов квантования и входного процесса практически отсутствует [1], а шум квантования является дискретным белым шумом с дисперсией 
. Полагая нормированной мощность входного процесса, а в каждом из квадратурных каналов данные представляются 
двоичными разрядами, включая знаковый, то мощность ошибок квантования определяется 
[1,3]. Тогда ковариационная матрица квантованной помехи и ее оценка имеют вид
; 
. (4)
где 
- ковариационная матрица шумов квантования. Соответствующий весовой вектор и его оценка с учетом квантования определяются выражениями
; 
, (5)
доставляющими мощности помех
; 
. (6)
Учитывая представление 
(4), представим ковариационную матрицу помех в виде 
и используя (6), получим после преобразований выражение для оценки мощности помех в виде разности двух случайных величин 
и 
(7)
Для определения статистических свойств (7) представим оценку в виде
, (8)
где величины 
и 
отличаются лишь линейным преобразованием 
, а следовательно, имеют одинаковый закон распределения вероятностей. Кроме того, они совпадают с точностью до постоянного множителя. Для доказательства последнего утверждения достаточно показать, что коэффициент корреляции между и
(9)
равен 1. Для определения средних в (9) воспользуемся правилом [2] нахождения среднего произведения векторов 
через след 
их ковариационных матриц 
. (10)
Тогда средние числителя и сомножителей знаменателя (9) имеют вид
. (11)
Подставляя (11) в (9) после сокращений получим 
, что позволяет в (7) и (8) заменить разность 
одной случайной величиной, имеющей одинаковое с распределение. Известно [6], что обратная величина 
подчиняется 
-распределению, а оценка мощности имеет при 
среднее [7]
, (12)
то нетрудно определить среднюю мощность на выходе адаптивного фильтра с учетом квантования
. (13)
Общепринято проводить сравнение эффективности фильтров по энергетическим критериям качества, например, по потерям в коэффициенте подавления помех и в отношении сигнал/помеха. Из анализа (12) и (13) следует, что потери, связанные с квантованием, не зависят от числа обучающих выборок, а определяются потенциальной эффективностью фильтра
(14)
и зависят только от параметров сигнально-помеховой обстановки.
Проводя аналогичные выкладки для отношения сигнал/помеха с учетом ограничения нормировки на мощность сигнала (1) 
, получим
. (15)
Из (14) и (15) следует, что для заданного уровня потерь, как при подавлении помехи, так и при выделении сигнала, требования к разрядности одинаковые.
3. Определение требований к разрядности
Для анализа зависимости потерь от параметров сигнально-помеховой обстановки необходимо выбрать типовые помеховые обстановки. Определим модели исходной и квантованной ковариационных матриц помех в виде аддитивной смеси некоррелированных шумов и 
независимых точечных помех
; 
(16)
Рассмотрим 3 помеховые ситуации в случае одной помехи =1 представляемой вектором 
, 
; в случае двух помех =2, 
, и случай равномерно расположенных 
помех 
, где 
, 
. Задавая нормированной входную мощность помехи
=1, а отношение помеха/шум в диапазоне 
=20–80 дБ, рассчитаем зависимости разрядности от размера фильтра , обеспечивающие 3 дБ уровень потерь при подавлении помехи 
=2 или в в отношении сигнал/помеха 
=0,5.
Графики зависимостей требуемой разрядности от размера фильтра приведены на рис.1 и рис.2, где на рис.1 сплошной линией показаны требования к разрядности в случае одной помехи, штриховой линией - при наличии двух помех. На рис.2 приведены зависимости для усредненной помеховой обстановки в виде 
помех, расположенных во всей полосе.
Рис.1 Рис.2
Анализ рисунков показал, что наиболее чувствительным к квантованию является случай одномодовой помеховой ситуации, для которой достигается наибольший потенциальный выгрыш. С увеличением числа помех, сопровождаемого снижением потенциальной эффективности, требования к разрядности снижаются. Так, при одинаковом отношении помеха/шум, для числа помех равному максимальному числу точек подавления фильтра требуется примерно на 8 разрядов меньше, чем в одномодовой помеховой обстановке. С повышением 
на 20 дБ необходимая разрядность возрастает примерно на 8 бит.
Выводы
1. Разработана методика расчета ошибок квантования для адаптивных систем, использующих непосредственное обращение ковариационной матрицы.
2. Установлено, что погрешности квантования не зависят от интервала обучения, что позволяет исследовать эффективность на основе потенциально достижимого отношения сигнал/помеха без учета числа обучающих выборок.
3. Требуемая разрядность зависит от помеховой обстановки, а наиболее чувствительными к разрядности являются случаи параметров помех, для которых имеет место наибольший потенциальный выигрыш в подавлении помех. С повышением отношении помеха/шум на 20 дБ необходимая разрядность возрастает примерно на 8 бит.
The accuracy loss for computing the estimated optimum weights of an adaptive filter has been analyzed by investigating the effects of errors in quantization the samples of covariance matrix. It is shown that the required digit capacity depends upon the parameters of matrix and potential gain.
1. Рабинер Л.. Гоулд Б. теория и применение цифровой обработки сигналов.- М.: Мир, 1978.- 848 с.
2. Монзинго Р.А.,Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию: Пер. с англ./ Под ред. В.А. Лексаченко. — М.: Радио и связь, 1986 — 448 c.
3. Попов Д. И. Цифровая квазиоптимальная обработка сигналов на фоне коррелированных помех. //Изв.вузов СССР: Радиоэлектроника.- 1978., №7.-C.88-93.
4. Nitzberg R. Computation Precision Requirements for Optimal Weights in Adaptive Processing.// IEEE Trans. —1980. — AES-16, № 4. — P. 418 — 425.
5. C. Caraicos and B. Liu, "A roundoff error analysis of the lms adaptive algorithm," IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Proc., vol. ASSP-32, no. 1, pp. 34-41, Feb. 1984.
6. Reed I.S., Mallet J.D., Brennan L.E. Rapid convergence rate in adaptive arrays // IEEE Trans. — 1974. — AES-10, № 6. — P. 853 — 863.
7. Орлов В.В., Баранов П.Е., Зуев В.И. Синтез универсального компенсатора помех с линейным преобразованием входного процесса// Судостроительная промышленность.- 1988, вып.20, c.17-20.
Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]
Читайте также
Цифровые и дискретные системы управления
Кочкарьов Ю.О., Кущ С.О., Панаско О.М. Ефективна схемотехніка цифрових вузлів елемента додавання кон’юнкціїКлименко А.К. Об использовании дискретной обратной модели в системах с интегрирующим звеном
Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи із цифровим регулятором на заданий показник коливності
Щокін В.П. Метод оцінки максимального запізнення елементів фільтрованого входу нейроемуляторів з зовнішньою динамікою
Ситников В.С., Брус А.А. Анализ коэффициентов перестраиваемого цифрового фильтра нижних частот второго порядка.
Бобриков С.А., Воевода А.Б., Лебедева Т.А. Расчет цифрового управляющего устройства для линейного объекта с запаздыванием
Усов А.В., Ситников В.С. Возможности построения передаточных функций линейных цифровых частотно-зависимых вторичных преобразователей по частотным характеристикам
Орлов В.В. Экономичная реализация обнаружителей сигналов на основе решетчатых фильтров
Ситников В.С. Анализ путей уменьшения погрешностей цифровых устройств с фиксированной точкой.
Ситников В.С. Реализация цифрового фильтра высокого порядка в каскадной форме по критерию минимума выходного шума квантования.
Ситников В.С. Оценка верхней границы ошибок квантования в цифровом фильтре с фиксированной точкой.