УДК 681.5.015.8:519

Вступ

При дослідженні аналогових систем керування (зокрема, систем із запізненням та розподіленими параметрами) широко використовуються частотні методи: критерій Найквіста для оцінки стійкості системи, налагодження системи на заданий показник коливності; тощо.

Ці методи мають наочну графічну інтерпретацію. Годограф амплітудно–фазової характеристики (АФХ) розімкненої системи охоплює або не охоплює точку , заходить чи не заходить в середину М–кола [1]… . Такий підхід робить розрахунок системи наочним та інтерактивним.

Постановка завдання

Якщо у системі керування використано цифровий ПІД-регулятор, а час квантування малий порівняно із інерційністю об’єкта керування (ОК), то у першому наближенні для розрахунку можна використовувати аналогові методи настройки системи керування. А що робити коли час квантування більший за половину періоду, що відповідає частоті зрізу (теорема Котельникова [1])…? У цьому випадку використання аналогових методів неприйнятне.

Розглянемо детальніше цифровий регулятор (ЦР). ЦР містить: амплітудноімпульсний модулятор, що перетворює неперервний сигнал на послідовність імпульсів із часом квантування T; функцію перетворення, яка реалізує закон керування (як правило, ПІД–закон) та демодулятор (частіше усього – фіксатор нульового порядку), що забезпечує постійне значення вихідного сигналу на час T. Якщо розглянути послідовну сукупність цих ланок (де вхідний та вихідний сигнали є неперервні), то є всі підстави, принаймні, формально моделювати ЦР (разом із модулятором та демодулятором) як неперервний (аналоговий).

Аналогова модель цифрового ПІД-регулятора

Передаточна функція цифрового ПІД–регулятора має вид [2]:

,                                                                (1)

де K₁, K₂, K₃ – пропорційна, інтегральна та диференціальна частини налагодження ПІД–регулятора.

Виходячи із (1) можна отримати рекурентне відношення, що реалізує алгоритм роботи цифрового ПІД–регулятора:

,                   (2)

тут kT – дискретний час на k-му кроці із періодом квантування T; x(kT), u(kT) – сигнал неузгодженості та сигнал керування регулятора на k-му кроці. Змінюючи параметри K₁, K₂, K₃  можна отримати П, І, ПІ, ПД, ПІД–закони регулювання.

Конформне відображення s–площини Лапласа на дискретну z–площину визначається залежністю:

.                                                                     (3)

Враховуючи (3), із (1) отримаємо аналогову модель функції перетворення цифрового ПІД–регулятора:

;

або у класичному вигляді:

,                                            (4)

де T_I, T_D – час інтегрування та диференціювання ПІД–регулятора .

Крім функції перетворення ЦР включає амплітудноімпульсний модулятор та фіксатор нульового порядку. Вважатимемо, що модулятор реалізує амплітудноімпульсну модуляцію першого роду, тобто в момент часу  вихідний сигнал модулятора дорівнює . Квантований сигнал x_k прийнято представляти імпульсом висотою x_k . Енергія імпульсу сигналу характеризується його площею (добутком ширини імпульсу на його висоту). Одиничний імпульс теоретично має нескінчену амплітуду (висоту), нульову ширину, але його площа дорівнює одиниці. Отже, імпульс x_k несе енергію рівну x_k , тоді як енергія сигналу  на протязі інтервалу квантування має величину , якщо ігнорувати зміну сигналу в межах періоду T. Таким чином, виходить, що коефіцієнт передачі модулятора:

.                                                               (5)

Фіксатор нульового порядку має передаточну функцію:

.                                                        (6)

Враховуючи, (4) – (6), отримаємо аналогову модель цифрового ПІД–регулятора:

.                                               (7)

Розглянемо частотні характеристики аналогової моделі цифрового ПІД–регулятора (шляхом заміни s на ) для (4) маємо:

,                                                          (8)

де ,    .

Якщо розглядати частотні характеристики фіксатора у сукупності із модулятором (ланцюжок: модулятор-фіксатор, коли передаточні функції ланок перемножуються), то система “модулятор-фіксатор” матиме передаточну функцію: . Відповідна частотна характеристика:

,                                               (9)

де , .

Для розрахунку системи керування зручно мати її АФХ у розімкненому стані:

,                                            (10)

тут . Розглянемо дробово–раціональну частину :

,                             (11)

де , . Помножуємо отриманий результат на:

.                                                        (12)

Враховуючи (11), (12)  визначається як:

,                               (14)

тут , .

Розглянутий алгоритм визначення АФХ (10) реалізовано чисельно в середовищі Turbo Pascal. Програма дозволяє розраховувати настройки цифрового регулятора на заданий показник коливності М [1].

Розглянемо деякі результати моделювання рис.1 – рис.3.

Перше. За критерій налагодження цифрової системи прийнято показник коливності М=1.3. В якості ОК використано аперіодичну ланку другого порядку із запізнюванням: . Результати моделювання представлено на рис. 1. Як показано на рис. 1 (графік 1) при настройках ЦР: K₁=0.14, T_I=5, T_D=3, T=1 показник коливності М=1.3. Якщо збільшити час квантування регулятора до T=2 без зміни інших параметрів моделювання – показник коливності зросте М=2.2, див. рис. 1 (графік 2). Таким чином, збільшення часу квантування T еквівалентно збільшенню запізнювання, і як наслідок зростає показник коливності системи.

а)                                                                                                                   б)

Рис. 1 Розрахунок параметрів ЦР на заданий показник коливності М, а – АФХ розімкненої системи, б – перехідні процеси у цифровій системі регулювання

Друге. За критерій налагодження цифрової системи взято показник коливності М=1.2. Передаточна функція ОК – та сама: . Результати моделювання представлено на рис. 2. Перехідні процеси рис. 2 (графіки 1, 2) забезпечують показник коливності М=1.2. Графік 1 забезпечується настройками ЦР: K₁=0.133, T_I=5, T_D=3, T=1, а графік 2 – K₁=0.113, T_I=6, T_D=3, T=2. Отже, можна зробити висновок, що час квантування T ще один повноцінний параметр настройки ЦР, що впливає на якість перехідних процесів у системі.

а)                                                                                                       б)

Рис. 2 Розрахунок параметрів ЦР на заданий показник коливності М, а – АФХ розімкненої системи, б – перехідні процеси у цифровій системі регулювання

Третє. За критерій налагодження цифрової системи прийнято показник коливності М=1.2. В якості ОК використано аперіодичну ланку першого порядку із запізнюванням: . Перехідний процес рис. 3 при настройках ЦР: K₁=0.8, T_I=10, T_D=1, T=2 забезпечує показник коливності М=1.2. Перехідний процес носить пилкоподібний характер. Це пояснюється тим, що ОК описується аперіодичною ланкою першого порядку і має інерційність одного порядку із часом квантування ЦР.

а)                                                                                                        б)

Рис. 3 Розрахунок параметрів ЦР на заданий показник коливності М, а – АФХ розімкненої системи, б – перехідний процес у цифровій системі регулювання

Висновки

Аналогове моделювання ЦР (із модулятором перед ним та фіксатором після нього) відкриває можливість застосування частотних методів дослідження систем керування з аналоговим об’єктом та ЦР. При цьому час квантування у ЦР може розглядатися як додатковий параметр налагодження системи.

Анаогове представлення ЦР дає також можливість розрахунку перехідних процесів засобами MatLAB (та подібних їй), а також в середовищі Turbo Pascal. Це дозволяє оцінити вплив вибраного періоду квантування не лише на поведінку набору дискрет у моменти квантування, але і в проміжках між ними. Особливий інтерес це може представляти при досліджені реакції системи керування на збурюючі чинники, що можуть суттєво відрізнятися за формою від 1(t) – типового вхідгого сигналу.

1.                  В. Я. Ротач Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. –М.: Энергия, 1973. –440 с: ил.

2.                  Р. Дoрф, Р. Бишоп Современные системы управления. –М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. –832 с: ил.