УДК 681.51

Введение. Синтез систем терминального управления является актуальной задачей современных исследований теории управления динамическими системами. Решить задачу терминального управления – значит построить регулятор, который переводил бы объект управления в требуемое состояние за конечный (желательно минимальный) интервал времени. К этим задачам относятся – задача управления точечной сваркой, складированием, раскройкой материалов, схватом робота. Основными требованиями к качеству управления перечисленными процессами считаются непрерывность движения объекта, отсутствие автоколебаний и перерегулирования.

Известные методы синтеза систем терминального управления [1] предполагают наличие полной априорной информации о параметрах объекта в распоряжении конструктора. Управляющая функция, используемая в таких системах, представляет наибольшее положительное или отрицательное значение сигнала управления. В отсутствии априорной информации о параметрах объекта управления момент переключения сигнала управления строго не определен, при этом цель управления может оказаться не достигнутой. В таком случае разумно использовать адаптивный подход.

В работах [2-4] рассматривалась аналогичная задача в адаптивной постановке, когда в структуре динамической системы, которой осуществляется управление, отсутствуют элементы, которые вносят опережение по фазе в сигнал управления (дифференцирующие звенья). Особенность управления движением этих систем заключается в непрерывном изменении фазовых координат при скачкообразном изменении сигнала управления. Для повышения скорости отработки задания в состав управляемого привода включают элементы дифференцирования. Дифференцирование разрывной функции, какой является сигнал управления, в моменты переключения приводит к скачкообразному изменению некоторых координат объекта. В задачах адаптивного управления при этом возникает проблема выбора точки, по которой необходимо делать коррекцию вектора неизвестных параметров.

Аналогичная задача в неадаптивной постановке рассмотрена в [5], где предложен алгоритм финитного управления в классе линейных систем с переменной структурой и дифференцирующими свойствами. Для исключения скачкообразного изменения фазовых координат в моменты переключения в [5] предлагается строить управление в новом координатном пространстве с непрерывными компонентами.

В статье предлагается алгоритм адаптивного терминального управления с минимальным временем процесса управления, основанный на результатах работ [2-5], для построения алгоритма управления динамической системой, в составе которой имеется элемент дифференцирования. Приводится пример моделирования системы.

Постановка задачи. Пусть имеется динамическая система, выходная величина которой является решением дифференциального уравнения вида

.                                                   (1)

Здесь y(t) – выходная величина динамической системы; u(t) - входная величина (управляющее воздействие); T – коэффициент, параметр системы; a – параметр элемента дифференцирования. Считается, что параметры a, T априори неизвестны. Известно только, что параметры a, T – могут находиться в пределах

                            .                                         (2)

Динамическая система (1) имеет передаточную функцию с двумя нулевыми полюсами и одним нулем. Структура такой системы представлена на рис.1. На рисунке введен коэффициент k=T ^-1.

Рис. 1 Структурная схема динамического объекта

Необходимость обеспечения минимального времени процесса управления требует применения регулятора, способного реализовать такой процесс. В соответствии с [1] такой регулятор должен обеспечить выбор управляющего воздействия одного из двух возможных значений, т.е. u(t)Î{-U, +U}.

Как и в [2-4] представим уравнение (1) системой дифференциальных уравнений первого порядка. Введем обозначения: y₁(t) - выходная величина динамической системы, y₂(t) – производная выходной величины. Тогда уравнение (1) можно записать в виде

                                          (3)

Для системы (3) задано начальное состояние Y ^T(0)=(y₁(0), y₂(0)), Y ^T(0)ÎV\W̲, конечное состояние – окрестность начала координат W.

Задача состоит в построении терминального управления, обеспечивающего перемещение вектора Y(t) динамического объекта (1) за n-испытаний из любого начального состояния Y(0)ÎV̲ в некоторую область W̲, при котором будет обеспечиваться минимальное время T_n³T ⁰ в условиях априорной неопределенности относительно значений k, T, выраженной в форме (2). Предполагается, что возмущения в каналах измерения фазовых координат y₁(t), y₂(t) отсутствуют. Область W должна быть по возможности малой.

Неадаптивное управление. В соответствии с представлениями, развиваемыми в [2-4], смена знака управления производится в момент пересечения фазовой траекторией объекта линии переключения. Согласно (3) линию переключения на плоскости фазовых переменных y₁, y₂ можно представить выражением

                        (4)

Здесь с – вектор с компонентами , , . На плоскости y₁, y₂ – кривая переключения f(y, c) представляет две примыкающие к оси y₂ ветви парабол, не имеющие общей точки на y₂. Из (3) следует, что если в некоторый момент времени t фазовая координата y₁(t)=0, то фазовая координата y₂(t)=-kTu(t). Следовательно, в фазовом пространстве y₁, y₂ при неизвестных параметрах k, T конечного положения y_к=(0, 0) достичь принципиально невозможно.

Интересно, что конечному состоянию

                                                           (5)

зависящему от неизвестных параметров k, T, при решении задачи терминального управления в пространстве (y₁, y₂) соответствует начало координат (0, 0) в пространстве (y₁, ). Таким образом, в данном случае в качестве вектора принятия решения о качестве процесса адаптации имеет смысл отказаться от вектора (у₁, у₂) и выбрать вектор Y ^T= (y₁, ).   В   (5)   T ⁰   –   наименьшее   время   перехода   объекта   из   начального  состояния
Y ^T(0)ÎV¢=  в  конечное  Y ^T=(0, 0).

Применив к разделяющей функции (4) линейное преобразование вида F(w, c)=lf(y, c), l>0, ее удобно представить в форме

                           (6)

где =(-y₁, y₂², y₂, 1), =(-y₁, -y₂², y₂, -1), =(l, lc₁, lc₂, lc₃).

Предположим далее, что каким-либо образом оценка =(l, l(c₁+a), l(c₂+b, l(c₃+g)) неизвестного вектора с получена. Здесь {a, b, g}ÎÂ - элементы некоторой его d-окрестности. Тогда закон управления

                                         (7а)

                       (7б)

обеспечивает перевод объекта (1) из любого начального состояния Y(0)ÎV\W в область W с числом интервалов управления не более двух за время Т ⁰+D при ÎС(с, d), где С(×,×) - d-окрестность вектора с.

В соответствии с [2-4], замкнутую систему (2), (7), (6) будем называть системой терминального управления с минимальным временем переходного процесса.

Адаптивное управление. Пусть теперь вектор  неизвестен. В этом случае закон управления будем строить по схеме (7) с учетом (6), заменяя в соответствующих выражениях неизвестный вектор  на подходящую его оценку , определяемую на каждом (n-1)-м цикле перемещения вектора Y(t) из начального Y(0) в конечное положение.

В качестве алгоритма адаптации воспользуемся алгоритмом, предложенным в [2]. Реализация этого алгоритма предусматривает запоминание координаты точки y(t_n) пересечения в первый раз траектории движения с разделяющей поверхностью F_n(w, )=0. Обозначим l(t_n) - общее число переключений к текущему моменту t_n времени, начиная с момента t=0. Тогда алгоритм адаптации строится в форме следующей рекуррентной процедуры:

                (8)

В алгоритме (8) вектор w(t_n) выбирается равным

                                        (9)

Pr_X{×} – обозначает операцию проектирования вектора  в область . Проектирование считается правильным, если выполнены соотношения

,       .                               (10)

Процедура (8)-(10) определяет алгоритм адаптации полностью (после задания начального вектора  с учетом (10)). Как видно из (8)-(10), для построения этого алгоритма снова понадобилось использование априорной информации о нижних границах компонент вектора с, определяемых (2).

Сформулированный результат дает строгое обоснование возможности достижения цели адаптации за конечное число испытаний, т.е. построение регулятора, обеспечивающего терминальное управление с минимальным временем переходного процесса.

Моделирование. Эффективность предлагаемого алгоритма оценивалась моделированием объекта (1) с параметрами k=1 c^-2, T=0,5 c. Результаты моделирования для начального состояния y^T(0)=(-5,0, 0) представлены на рис.2, 3.

На рис.2 показаны функции y₁(t), y₂(t) на первом цикле адаптации с начальным =(2,0, 6,0, 2,45, 0,25), выбранным произвольно. Из рис.2 видно, что объект в скользящем режиме подходит к области W, процесс затянут во времени, точка Y(t) не попадает в W из-за автоколебаний в ее окрестности.

Под действием алгоритма адаптации на n=126 цикле адаптации получен вектор параметров =(30,4, 21,13, 11,63, 0,1), обеспечивающий перемещение вектора Y(0) в область W с одним переключением знака управления, как и должно быть. Функции y₁(t), y₂(t) после n=126 цикла адаптации представлены на рис.3.

Сходимость алгоритма оценивалась с помощью функции

,                                                       (11)

где t=1000, с*=(1, 0,5, 0,5, 0,125)^Т – вектор истинных параметров.

Рис. 2 Функции y₁(t), y₂(t), u(t) на первом цикле адаптации

Рис. 3 Функции y₁(t), y₂(t), u(t) на последнем цикле адаптации

Характер функции V_n, представленный на рис.4, показывает, что предложенный алгоритм позволяет обеспечить довольно хорошее поведение системы в процессе адаптации.

Рис. 4 Функция V_n

Выводы. 1. Алгоритм адаптации (8)-(10) с учетом (6), (7) сходится за конечное число шагов. 2. Регулятор (6), (7) обеспечивает процесс управления с минимальным временем после окончания процесса адаптации. В отличие от других известных алгоритмов, предложенный здесь алгоритм использует дополнительную информацию о движении объекта в форме (5).

Дальнейшие исследования предполагается направить на поиск приемов и способов построения терминального управления объектами третьего порядка с элементами дифференцирования.

1.                  Крутько П.Д. Алгоритмы терминального управления линейных динамических систем / П.Д. Крутько // Известия РАН. Теория и системы управления. – 1998. - №6. – С.33-45.

2.                  Кучеров Д.П. Об одной задаче синтеза адаптивной системы управления, субоптимальной по быстродействию / Кучеров Д.П. // Праці П’ятої Української конференції з автоматичного управління ²Автоматика-98²: Київ, 13-16 травня 1998 р. – Ч.І. – К., 1998. – С.238-244.

3.                  Кучеров Д.П. Алгоритм адаптивного термінального управления потрійним інтегратором / Кучеров Д.П., Василенко О.В., Іванов Б.П. // Вісник Вінницького політехнічного інституту. – 2009. – №2. - с. 22-27.

4.                  Кучеров Д.П. Адаптивное терминальное управление динамическим объектом, квазиоптимальное по быстродействию / Кучеров Д.П. // Вестник СевГТУ. Вып. 72: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. – С.52-58.

5.                  Рустамов Г.А. Синтез финитного управления с переменной структурой для регулируемых объектов, передаточные функции которых содержат нули / Рустамов Г.А. // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2004. – №6. – С.22-27.