Введение. Объекты управления, моделируемые в виде инерционного или интегрального звеньев с запаздыванием, являются традиционным объектом исследования в инженерной теории автоматического управления. Для синтеза систем управления таких объектов с типовыми регуляторами разработаны многочисленные методики настройки. Однако, внедрение компьютерной техники требует использования более совершенных цифровых систем управления. Такие системы можно рассчитать, используя разработанный аппарат синтеза оптимальных цифровых регуляторов с наблюдателями. Такой расчет, в традиционной постановке, невозможен без применения специализированных программ (например, Матлаб), зачастую существенно использующих   ресурсы компьютера. В то же время, желательно было бы иметь простые инженерные соотношения для настройки систем на технологическом объекте управления, а также для использования в адаптивных системах управления. Такие соотношения впервые получены в настоящей статье. Побочным теоретическим результатом, вытекающим из полученных соотношений, является то, что, оказывается, параметры оптимального регулятора состояния  совершенно не зависят от запаздывания и определяются  исключительно постоянной времени объекта и периода дискретности.

                1. Модель объекта управления в дискретном времени. Зададимся объектами управления в виде инерционного или интегрального звена с запаздыванием в виде:

                                                                   (1)

или

.                                                          (2)

                Переведя модель объекта управления в дискретное  время,  запишем

                ,                                                                         (3)

где        –  для  системы,  эквивалентной   ;

              –  для  системы,  эквивалентной  ,

                шаг дискретности,

                 – число шагов запаздывания,

                Тогда, с учетом запаздывания матрицы системы

                                                                   (4)

имеют вид  , , ,  n=m+1,

3. Структура оптимального регулятора.  Как известно, оптимальный регулятор, в рамках теории аналитического конструирования регуляторов, записывается в виде [1].

                                                                                                           (5)

где      матрица регулятора состояния,

            матрица наблюдателя состояния.

компенсатор задания.

4. Синтез регулятора состояния. Введем  критерий  качества  в  виде

                                                        (6)

где, Q,R – весовые положительно – полуопределенные матрицы. Тогда, как известно [4], матрица параметров настройки регулятора состояния, определится в результате решения уравнения Риккати по зависимости

                ,                                                                                           (7)

где

                С целью упрощения решения, без ограничения общности, примем  весовые  матрицы  Q , R  в  виде

                                                       (8)

тогда справедлива теорема 1.

Теорема 1. Если объект управления задан в виде (4), весовые матрицы критерия качества (6) приняты в виде (8), то матрица параметров настройки регулятора состояния определяется скалярным соотношением

,                                              (9)

,  ,                                                       (10)

,

и, более того,      величина К не зависит от запаздывания объекта управления.                           

Решение матричного уравнения Риккати относительно неизвестной матрицы  определяется соотношениями

                    (11)

Доказательство теоремы 1 производится непосредственной подстановкой.

5. Синтез наблюдателя состояний. Наблюдатель состояния цифровой системы  проведем в рамках модального синтеза (апериодический наблюдатель), выбрав все собственные значения наблюдаемой подсистемы равными нулю.

Теорема 2. Синтез апериодического наблюдателя производится по зависимости

 ,                                                                (12)

Доказательство теоремы 2 производится непосредственной подстановкой.

.               6. Пример.  В качестве примера возьмем объект управления с передаточной функцией

Тогда, если выбрана выбрать , получим объект 9 порядка. Матрица настройки регулятора совпадает с результатами расчета по традиционной методике и имеет вид  ()

К=[ 3.8356  0  0   0   0  0   0   0  0].

Матрица настройки наблюдателя равна

L^T=[ 0.4724    0.5134    0.5580    0.6065    0.6592    0.7165    0.7788  0.8465    0.9200]

Переходные процессы при изменении задания на 3 единицы имеют вид

Отметим в заключение, что если выбрать  , то получим объект 81 порядка, время вычисления параметров для которого по традиционной методике превышает время синтеза по предложенной методике почти в 10⁴ раз.

Заключение.  Предложена методика расчета оптимальных цифровых систем управления, позволяющая существенно быстрее и точнее произвести расчет параметров регулятора (матрицы регулятора и наблюдателя), причем расчет для матриц объекта любого порядка можно произвести практически без компьютера. Показано, что параметры оптимального регулятора состояния  совершенно не зависят от запаздывания и определяются исключительно постоянной времени объекта и периодом дискретности. Запаздывание определяет лишь размерность матриц регулятора и наблюдателя.

1.                   Стопакевич А.А. Сложные системы: анализ, синтез, управление.– Одесса: Кред, 2004.– 277с.