Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ  НАГРЕВАТЕЛЕЙ  ПО  КРИТЕРИЮ  ЭКОНОМИИ  ЭНЕРГИИ

Попруга  А.Г.

Из  курса  электротехники  известно, что  передача  энергии  вдоль  проводов  линии  осуществляется  электромагнитным   полем,  распространяющимся  в  диэлектрике  вдоль  проводов  линии.  Провода  линии  выполняют  двоякую  роль: они  являются  каналами, по  которым  проходит  ток, и  организаторами  структуры  поля  в  диэлектрике.  Поглощение  энергии  в  приемнике (нагревателе)  и  проводах  линии  происходит   за  счет  передачи  электромагнитной  энергии  в  область  ограниченную  поверхностями  проводов  линии  и  нагревателя.

Напряженность  магнитного  поля  Н  отстает  по  фазе  от  напряженности  электрического  Е  на  угол  π/4. В  течение  большей  части  периода  колебаний, равной  трем  восьмым  периода   изменения  Е  и  Н, величина  вектора  Пойнтинга  S  положительна  и, следовательно, энергия  поступает  в  провод    нагревателя  из  внешнего  пространства  и  идет  на  изменение  энергии  магнитного  поля  в  объеме  провода   нагревателя  и  на  выделение  теплоты  в  проводе.

В  течение  меньшей  части  периода  колебаний,  равной  одной  восьмой   периода  изменения  Е и  Н, вектор  Пойнтинга   имеет  отрицательную  величину  и, следовательно,  поток  энергии  направлен  от  провода  в  окружающее  его  пространство. В  течение  этого  промежутка  времени  энергия, запасенная в  магнитном  поле  в  объеме  провода, частично  возвращается  в  окружающее  провод  пространство  и  частично  преобразуется  в  теплоту.  Эти  колебания  энергии  с  частичным  возвратом  ее  в   пространство, окружающее  провод, можно  рассматривать  как  результат  наличия  внутреннего  реактивного  сопротивления  х _внутр  провода. Как  известно, между  реактивным  х   и  активным  r  сопротивлениями  цепи  и  разностью   φ  фаз  напряжения  и  тока  в  этой  цепи  существует  соотношение  х/r = tgφ [1].

В  силу   сказанного  представляется  целесообразным  рассмотреть  с  позиций  физики  твердого  тела  и  электротехники  причины  возникновения  реактивного  сопротивления  провода  и  способы  уменьшения  tgφ.

   Современная  теория  твердого  тела  основана  на  применении  квантовой  механики  и  квантовой  статистики. Распределение  электронов  по  энергиям  описывается  квантовой  статистикой  Ферми – Дирака.  Согласно  этой  статистике  энергетический  спектр  электронов  металла  представляет  собой  набор  энергетических  уровней (состояний), разделенных  очень  узкими  зазорами. В  каждом  состоянии  может  находиться  не  более  двух  электронов (с  антипараллельными  спинами).

При  Т=0⁰К  электроны  занимают  подряд  все  уровни  от  низшего  возможного  вплоть  до  наивысшего W_ф, который  называют  уровнем  Ферми  или  энергией  Ферми. При  Т > 0⁰К  край  энергетического  спектра  „размазывается”:  часть  электронов  в  результате  теплового  возбуждения  поднимается  на  более  высокие  уровни. Однако  свободные  состояния  есть  только  над  уровнем  Ферми,  поэтому  возбуждаются  электроны  лишь  из  близкой  окрестности  W_ф.

Воспринимает  энергию  внешних  полей  лишь (kT/W_ф)   та  часть  электронов, состояния  которых  близки  к  W_ф.

Для  металла  характерно  расположение  уровня  Ферми  внутри  одной  из  разрешенных  зон, так  что  вблизи  него  имеются  незанятые  состояния, на  которые  могут  переходить  электроны. Зона,  в  которой  находится  уровень Ферми, называется  зоной  проводимости. Законы  движения  электрона  в  зоне  проводимости  отличаются  от  законов  движения  действительно  свободных  электронов.  Вследствие  этого  приходится, в  частности,  скалярную   величину  массы  свободного  электрона  m₀  заменить  на  тензорную  величину (m*)  называемую  эффективной  массой [2].

Отклонение  массы  m* от  m₀  обусловлено  следующими  эффектами:

1.         Взаимодействие  электронов  проводимости  с  периодическим  потенциалом  неподвижной (жесткой) кристаллической  решетки  металла. Эффективную  массу  электрона  в  таком  потенциальном  поле  называют  зонной  эффективной  массой.

2.         Взаимодействие  электронов  проводимости  с  фононами. Электрон  „стремится”  поляризовать  или  исказить  кристаллическую  решетку  металла  вокруг  себя, так  что  движущийся  электрон  как  бы „тянет” за  собою  ионы,  встречающиеся    на  его  пути, что  проявлялося  в  возростании  его  эффективной  массы.

3.         Взаимодействие  электронов   проводимости   между  собою.  Движущийся  електрон  действует  на  электроны  окружающего  его  электронного  газа, что  также  приводит  к  возрастанию  его  эффективной  массы [3].            

Электрон-фононное  взаимодействие  приводит  к  тому, что  система  электронов  и  ионная  решетка  обмениваются  энергией   и  импульсом. Особое  значение  имеет  это  взаимодействие, когда  одна  из  систем  не  находится  в  равновесии.  Если  внешним  электрическим  полем  ускорить  систему   электронов  в  металле,  то  энергия,  полученная  от  поля, возбудит  колебания  решетки, т.е.  приведет  к  испусканию  фононов, и,  таким образом, передается  решетке.

Только  этим  способом, может  установиться  стационарное  состояние  при  прохождении  тока.

Ускорение  электронов  электрическим  полем  и  их  „торможение”  при  испускании фононов уравновешиваются. После  выключения  электрического  поля  процессы   взаимодействия  приводят  к  установлению равновесия  в  системе  электронов. Электрон-фононное  взаимодействие  не  является  единственным  процессом, который  приводит  к  диссипации  избыточной  энергии  у  системы  электронов.  К  этому  же  приводит  рассеяние  на  примесях  и  дефектах  решетки  в  сплавах[4].

Следуя   К. Зеегеру  в  работе [5]  запишем  уравнение  движения  электронов  в  кристаллической  решетке  металла:

                                                                                     (1)

где  t- время; m·v_d – импульс  электрона; v_d- скорость  дрейфа  электрона  в  поле  Е; τ – среднее  время  релаксации  импульса.

Второе  слагаемое  в  уравнении  (1)  описывает  „трение”, испытываемое  электронами  при  направленном  движении  в  металле. Это  трение  зависит  от  колебаний  атомов  кристаллической  решетки  и, следовательно, от  температуры  металла.

В  стационарном  состоянии  первое  слагаемое  в  (1)  обращается  в  нуль  и  скорость  дрейфа  v_d  пропорциональна  напряженности  электрического  поля Е:

                 | v_d | =  μ· | E |                                                                  (2)

где  коэффициент  пропорциональности

                 μ =                                                                (3)

носит  название  подвижность.

Если  в  единице  объема  металла  мы  имеем  n  электронов, каждый  с  зарядом  q = - e, то  в  постоянном  электрическом  поле  Е  плотность  электрического  тока  равна:

               j = n·q·v_d  =                                                   (4)

Выражение  (4)  имеет  форму  закона  Ома.

Удельная  электропроводность  γ  есть  по  определению  коэффициент  пропорциональности  между  плотностью  тока  j  и  полем  Е, т.е.:

              j = γ·E                                                                        (5)

Следовательно, из  (4)  имеем  для  γ:

                                                                     (6)

Среднее  время   релаксации  τ  из  (6)  имеет  вид:

                                                                          (7)

С  учетом  (2), (3), (7)  скорость  дрейфа  электрона  в  поле  Е  будет:

                                                                         (8)

Уравнение  (9),  определяющее  установление  тока  при  замыкании  цепи,  состоящей  из  последовательно  соединенных:  сопротивления  R и  индуктивности  L, с  постоянной  э.д.с. Е₀,  совершенно  аналогично  уравнению (1), если  считать, что  сила  тока I аналогична  скорости  v_d, индуктивность L  - массе m, а  среднее  время  релаксации τ -  времени  установления  тока τ_у = L / R.

                                                                                                            (9)     

Мощность, определяющая  количество  энергии, выделяемой  в  проводе  нагревателя  в  виде  теплоты  в  единицу  времени,  имеет  выражение  в  форме  закона  Джоуля-Ленца:

                                                                                     (10)

Перепишем  уравнение  (10)  с  учетом  известного  соотношения  R=ρ·l / S:

                                                                    (11)

Из  (11)  непосредственно  следует, что  чем  больше  диаметр  провода  нагревателя, тем  больше  выделяемая  в  нем  энергия,  и  тем  выше  его  температура. Повышение  температуры  обусловлено  большим количеством

фононов  в  проводе  нагревателя, что  связано  с  „торможением”  электронов  и  может  быть  воспринято  как  увеличение  их  эффективной  массы  m*.    С  учетом  формулы  (7)  и   уравнения  (9)  делаем  заключение, что  чем  больше  диаметр  провода  нагревателя, тем  больше  время  релаксации  импульса  и, следовательно, тем  больше  отношение  L / R.

   Представим  в  уравнении  (10)  сопротивление  R  в  виде  n  одинаковых  параллельно  соединенных  сопротивлений  R_c. Величина  R_c,  при  этом  определится  выражением:

                R_c= n·R                                                                   (12)

Поставив  (12)  в  (10)   получим:

                                                                                 (13)

Выражение (13)  определяет  практический  способ  уменьшения  времени  релаксации. Действительно, по  определению  R > R_c, U²/R > U²/R_c  и τ > τ_с  при:  P=const, τ_с ≈ τ_n, где τ_n – суммарное  время релаксации  системы  n-параллельно  соединенных  нагревателей. Поэтому  с  точки  зрения  уменьшения  L / R  необходимо  использовать  вместо  нагревателя  с  малым  сопротивлением  R, систему  параллельно  соединенных  нагревателей  с большим  сопротивлением  R_c.

Выводы:

1. Индуктивность L  приводит  к  отставанию  тока  от  напряжения, т.е.  она  является  мерой  инертности  электрической  цепи. Эффективная  масса  электрона  также  является  количественной  мерой  его  инертности.

Отсюда  заключаем, что  причиной  индуктивности  электрического  нагревателя  является  эффективная  масса  электронов  проводимости  при  прохождении  тока  по  нагревателю.

2. С  целью  уменьшения  потерь  энергии  электрический  нагреватель  необходимо  изготавливать  из  системы  параллельно  соединенных  нагревателей  малого  сечения.

1.                  Нейман  Л.Р., Демирчян  К.С.  Теоретические  основы  электротехники:  В  2-х  т. Учебник  для  вузов. Том 2.- 3-е  изд., перераб. и  доп.- Л.:  Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981.- 416с., ил.

2.                  Справочник  по  электротехническим  материалам / Под  ред. Ю.В. Корицкого, В.В. Пасынкова, Б.М.  Тареева.- Т.3.- 3-е  изд., перераб.- Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние,1988.- 728с., ил.

3.                  Киттель  Ч.  Введение  в  физику  твердого  тела.- М.:  Наука, 1980.- 791с., ил.

4.                  Маделунг  О.  Теория  твердого  тела.- М.:  Наука, 1980.- 416с., ил.

5.                  Зеегер  К.  Физика  полупроводников.- М.: Мир, 1977.- 615с.,ил.