УДК 621.3.013.681.142.2

Розрахунок періодичних процесів нелінійних електромеханічних систем в за­га­ль­но­му випадку призводить до необхідності визначення стаціонарних (періодичних) роз­в’яз­ків вихідної системи диференціальних рівнянь. Розв’язування цієї задачі доцільно ви­конувати методом побудови моделі чутливості до початкових умов [1].

Серйозною перешкодою на шляху використання цього методу є проблема виз­на­чен­ня матриці переходу станів або матриці монодромії. В задачах електромеханіки зап­ро­поновано знаходити її у вигляді добутку двох інших матриць. Такий підхід ви­ко­рис­то­ву­вався в ряді практичних розрахунків, а тепер узагальнимо його на будь-яку елек­т­ро­ме­ха­нічну систему.

Запишемо в загальному вигляді диференціальні рівняння будь-якої елек­т­ро­ме­ха­ніч­ної системи

де X = (х₁, х_{2, ...,}х_n)_t - вектор змінних; А(Х) – матриця коефіцієнтів; В(t) – вектор вільних чле­нів (збурюючих сигналів системи).

Вектор початкових умов диференціальних рівнянь (1) позначимо Х(0). Система рів­ня­нь (1) при заданих початкових умовах Х(0) становить задачу Коші.

Якщо праві частини (1) є Т-періодичними функціями, то існує періодичний роз­в’я­зок системи (1)

Вирази (1), (2) становлять двоточкову Т-періодичну крайову задачу для системи ди­фе­ренціальних рівнянь.

Як зазначалося раніше, нас цікавить усталений (періодичний) процес системи, при яко­му виконується рівність (2). В протилежному випадку буде існувати вектор похибок

Необхідно знайти такий розв’язок, при якому цей вектор був би рівний нулю. Його одер­жуємо внаслідок розв’язання трансцендентного рівняння (3). Для цього можна ви­ко­рис­тати ітераційний метод Ньютона

В цій задачі початкові умови стають шуканими невідомими.

Вираз в квадратних дужках є якобіаном системи рівнянь (3), тому для його виз­на­чен­ня диференціюємо рівняння (3) по Х(0)

де

Матрицю (6) називають фундаментальною матрицею або матрицею монодромії. В тех­нічний літературі вона відома під назвою матриця переходу станів.

Їх отримаємо ди­фе­рен­ці­ю­ван­ням (1) по х(0)

В практичних задачах матриця А(Х) є досить склад­ною, а тому рівняннями (7) не мож­на скористатися при організації ітераційного про­цесу (4).

Знайдемо вектор інших змінних, які однозначно визначаються через Х, а їх ди­фе­рен­­ціальні рівняння були б простіші від (1). Позначимо вектор нових змінних через Y. За­пишемо функціональну залежність між вектором нових змінних Y і вектором X у виг­ля­ді

де Y = (у₁,у₂,…у_n)_t – вектор нових змінних.

Диференціюючи вираз (8) по X(0), одержимо при t = T

де

Якби в (9) множник (10) був відомий, то матрицю монодромії можна було б легко знай­ти. Для визначення матриці (10) необхідно мати систему диференціальних рівнянь для змінної Y, праві частини яких повинні лінійно залежати від X. Запишемо таку сис­те­му рівнянь у вигляді

де С – матриця параметрів вимірювальної системи; D(t)- вектор вільних членів.

Тепер матрицю (10) визначимо з рівняння першої варіації, отриманого ди­фе­рен­ці­ю­ван­ням (11) по X(0)

Таким чином, функціональна залежність (8) дала змогу представити матрицю мо­но­д­ромії добутком матриці коефіцієнтів вихідної системи диференціальних рівнянь (1) і мат­риці чутливості до початкових умов додаткового рівняння (11).

На кожному кроці ітераційного процесу (4) сумісному інтегруванню підлягає сис­те­ма диференційних рівнянь (1), (12).

Алгоритм

1.                  Маючи на k-й ітерації значення вектора X(t)k і матриць A(X(t), t), S(X(t), t) (на першому кроці початкові наближення X(0)0 і A(0)0, S(0)0), інтегруємо рів­­няння (1), (12) на часовому інтервалі [0, T]. В ре­зультаті знаходимо X(X(0), T)k, A(T)k, S(T)k.

Значення вектора X(0)0 як нульове наближення формули Ньютона і по­чат­кова умо­ва для (1) задається довільним. Але в тих випадках, коли роз­в’язок неоднозначний, тоб­­то коли існує декілька періодичних розв’язків, зна­чен­ня X(0)0 визначає вхід у зону при­­тягання одного з них. Тому, щоб от­ри­ма­ти сукупність усіх можливих періодичних роз­­в’язків системи диференціальних рів­нянь, необхідно варіювати значеннями X(0)⁰.

Якщо враховувати, що для моменту часу t = 0, у відповідності з (6) бу­де Ф(0)^k = 1, то згідно з (5) і (9) для матриці допоміжної моделі чутливості по­винна строго за­до­во­ль­ня­тися умова

2.                  Маючи значення X(T)k, A(T)k, S(T)k, згідно з (3) обчислюємо ці­льо­ву фун­к­цію F(X(0)).

3.                  Згідно з (5) визначаємо значення матриці Якобі.

4.                  На підставі ітераційної формули (4) знаходимо уточнене значення век­тора по­чат­ко­вих умов X(0)k+1.

5.                  Ітераційний процес закінчується при досягненні заданої точності вход­жен­ня в пе­ріодичний розв’язок

де ε – вектор заданих точностей обчислення змінних.

Висновки

1. Основна трудність побудови моделі чутливості до початкових умов елек­тромеханічних систем - визначення мат­риці монодромії, розв’язана шляхом ви­ко­рис­тання функціональної залежності між змін­ними стану й додатковими змінними (в елек­тромеханічних системах між стру­мами контурів і потокозчепленнями), що дало змогу пред­ставити матрицю монодромії до­бут­ком двох матриць, перша з яких є матриця кое­­фіцієнтів ви­хідної системи рівнянь, а дру­га досить просто знаходиться з ди­фе­рен­ці­аль­них рівнянь пер­шої варіації.

2. Побудована модель чутливості до початкових умов електромеханічних систем у за­гальному вигляді (диференціальні рівняння (1),(12)), спроможна знай­ти такі початкові умови, які виключають перехідну реакцію і відразу призводять до пе­ріодичного елек­тро­ме­ханічного процесу в часовій області з заздалегідь заданою точ­ніс­тю.

3. Алгоритм дає змогу розрахувати перехідні процеси досліджуваної системи при виключенні з нього ітераційного процесу (приймається теоретично t®¥, а прак­тич­но – якесь велике значення).

Метод спроможній знайти неоднозначні розв’язки системи ди­фе­рен­ці­аль­них рів­нянь.

1.                  Чабан В.И., Билый Л.А. К расчету периодических режимов элек­тро­энер­ге­ти­чес­ких устройств // Техническая электродинамика. – 1982. – №1. – С.73–77.