Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

 

УДК 519.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОЛИНОМИАЛЬНОГО БАЗИСА ГЕКСАГОНА

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В.

Постановка проблемы. Задачи восстановления функций возникают в разных прикладных отраслях при исследовании сплошных сред, а именно при оценке продуктивности месторождений нефти, газа, в экологических и физических исследованиях. Кроме того, задачи, связанные с восстановлением поверхностей по результатам измерений,  являются актуальными при проектировании, конструировании,  изготовлении деталей такими методами быстрого прототипирования, как стереолитография, объёмная печать, основой которых являются результаты обмера.

При реализации на ЭВМ задач восстановления наиболее эффективными являются дискретные методы (метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Монте-Карло), большинство из которых в основе своей являются сеточными. Если поверхность задана точечным базисом, для её восстановления часто используют триангулированную и прямоугольную сетки, основными элементами которых являются треугольники и прямоугольники. Значительная часть вопросов, возникающих при решении задач восстановления, связана с повышением их точности с учетом экономии вычислительных ресурсов. В этом случае наиболее экономичной и альтернативной является сотовая сетка, т.е. сетка, узловые точки которой находятся в вершинах правильных шестиугольников (гексагонов). Задачи диффузии и теплопроводности в ядерных реакторах и других конструкциях с  гексагональной геометрией, привело  к необходимости создания  конечного элемента в форме гексагона с узлами интерполяции в вершинах элемента [1,4]. Попытка построить классический интерполяционный полином на шестиугольном конечном элементе традиционным матричным методом не увенчалась успехом: матрица СЛАУ оказалась вырожденной. Причиной тому принято считать “избыточную” симметрию гексагона. Базисные функции гексагональных конечных элементов с линейным поведением на границе можно построить с любой степенью точности одним из известных численных методов, например, методом Монте-Карло [7]. Но полученные при этом значения функций не удается представить в виде значений некоторых элементарных функций. Базисы, которые до сих пор удалось получить, не являются гармоническими. Поэтому остается актуальной задача построения полиномиальных аппроксимаций конечно-элементных базисных функций гексагона.

Анализ предшествующих публикаций и цели статьи. Первые гексагональные базисы были сконструированы в 80-х годах прошлого столетия. Неудачное применение матричных методов при построении полиномиальных базисных функций (БФ) стимулировало развитие геометрических методов. Результаты Уачспресса [2] в геометрическом моделировании конечно-элементных базисов позволили создать дробно-рациональный базис (ДРБ) [1,3], а затем  и полиномиальный (ПБ) [4]. Недавно [5] была предпринята попытка синтезировать две несбалансированные системы интерполяционных функций с целью создания синтетического базиса гексагона (СБ). В работе [8] предложен новый подход к построению полиномиального базиса (ПБ1) на гексагоне, а именно использование дополнительной информации в опорных узлах гексагона, получение которой основано на вероятностно-геометрическом дуализме БФ.  Всесторонний анализ этих систем позволил установить следующие недостатки: нарушение весового баланса (СБ), плохо контролируемые погрешности численного интегрирования (ДРБ), нелинейное поведение функции на сторонах гексагона (ПБ, СБ, ПБ1), нарушение дифференциального критерия гармоничности (ДРБ, ПБ, СБ, ПБ1) [8].  В 2006 году в работе [6] был предложен гармонический полиномиальный базис третьего порядка (ГПБ3), базисные функции которого в точности удовлетворяют уравнению Лапласа, однако также как и у ПБ, у ГПБ3 наблюдается возникновение нелинейностей на границе гексагона. Для построения полиномиального базиса в настоящей работе авторы используют дополнительные ограничения в виде обнуления функции в тех областях на контуре гексагона, где возможны максимальные отклонения, в результате в полиноме появляются дополнительные члены высших порядков. 

Основная цель работы – построить полиномиальный гармонический базис, свободный от ряда недостатков известных базисов.

Основная часть. В плоскости Оху рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.1).

Рис.1 Гексагональный элемент

Наша задача – построить матричным способом шесть полиномов  - базисных функций гексагона, ассоциированных с вершинами . Эти функции должны удовлетворять следующим требованиям:

интерполяционной гипотезе:

                                   ,  где  – символ Кронекера;                       (1)

условию сохранения весового баланса:

                                                                                                           (2)

уравнению Лапласа:

                                                      ();                                                                    (3)

условие гармоничности Кёбе:

                                          , (),                                   (4)

где       l – длина периметра гексагонального конечного элемента;

специфическим граничным условиям:

 

                 между вершинами гексагона  изменяется линейно.                     (5)

 

Базисную функцию, принимающую значение 1 в узле М1, будем строить в виде полинома, где учтена симметрия относительно оси ОХ, поэтому полином не должен содержать нечетных степеней у. Для нахождения коэффициентов полинома составим и решим СЛАУ, в отличии от [7], где коэффициенты определялись как вероятности перехода частицы из дополнительного узла в соответствующую вершину гексагона.

В процессе исследования были построены полиномы третьего, четвертого, пятого, шестого, седьмого порядков, однако именно полином четвертого порядка обладает наилучшими интерполяционными свойствами.  

Полином 4-го порядка имеет следующий вид:

                (6)

С учетом симметрии БФ  в дальнейших расчетах будем использовать вершины М1, М2, М3, М4.  Выполнение условий (1) и (3) приводит к следующей системе уравнений:

 

 

 

При рассмотрении данной системы уравнений было обнаружено, что уравнения данной системы являются линейно-зависимыми. Оказывается, что условие  выполняется автоматически, если выполнены остальные условия интерполяционной гипотезы. Вместо соотношения  накладываем дополнительное ограничение в точке :  . Вследствие этого, к системе добавляется уравнение:

 .

Решение полученной СЛАУ, даёт следующие значения коэффициентов:

 

Следовательно, функция имеет вид (рис.2):

.          (7)

 

Рис.2. График функции

Остальные функции могут быть получены путем поворота системы координат на угол, кратный 600. В результате тестирования было установлено, что данная функция удовлетворяет условиям (1-4), кроме того, удалось минимизировать осцилляции на контуре гексагона и улучшить интерполяционные качества модели. В силу симметрии  на рис.3 представлены отклонения от линейного поведения  функции на сторонах  М1М2, М2М3, М3М4. На стороне  М1М2 наблюдаются слабые осцилляции в пределах 1%.

 

Рис. 3 Отклонение от линейного поведения функции  на границе гексагона

 

В данном случае аномалии не имеют нежелательных последствий благодаря  полному сглаживанию при ансамблировании. Подтверждением тому – удовлетворение критерию (4).

Выводы. Данный полиномиальный базис был получен благодаря  удачному сочетанию геометрических и алгебраических методов. Следует отметить, что полученный базис успешно справляется с задачей лагранжевой интерполяции, кроме того БФ является гармонической, т.к. удовлетворяет дифференциальному (3) и интегральному (4) критериям гармоничности. С появлением таких моделей гексагонализация становится такой же привычной процедурой  МКЭ, как и триангуляция.

In the article the possibility of construction of a harmonic polynomial base of the hexagonal for a discrete element with six nodes in apexes by  algebraical method is presented. The properties of base are analyzed.

1.                  Ishiguro M. Construction of hexagonal basis functions applied in the Galerkin-type finite element method // J. Inf. Process. 1984. V. 7, №2. – P.89-95.

2.                  Wachspress E.L. A rational finite element basis. – Academic Press. – New York, 1975. – 216p.

3.                  Хомченко А.Н. О дробно-рациональной интерполяции на шестиугольном конечном элементе // Вісник Запорізького держ. ун-ту (серія: фізико-математичні науки).– 2002. - №3.– С.84-87.

4.                  Хомченко А.Н. К расчету температурных полей в сотовых структурах   методом конечных элементов//Инж.-физ. журнал.–1987.– Т.52, №2.–С.301-305.

5.                  Хомченко А.Н. Синтетична модель гексагонального скінченного елемента // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Тавр. держ. агротехн. академія. – Мелітополь: ТДАТА, 2003.-Вип.4.Т.20. - С.9-13.

6.                  Цыбуленко О.В., Литвиненко Е.И., Николаенко Ю.И. Альтернативные модели гексагональных базисов //Системні технології. Дніпропетровськ, 2006. – Вип..3(44). – С.155-161..

7.                  Хомченко А.Н., Моисеенко С.В., Николаенко Ю.И. Моделирование полиномиального базиса гексагона // Питання прикладної математики і математичного моделювання. – Дніпропетровськ:ДНУ,2006.-С.242-249.

8.                  Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Квазигармонические базисы конечно-элементной интерполяции // Новые информационные технологии в учебных заведениях: Материалы Международной конференции памяти проф. И.И. Мархеля. – Одесса, 2005. – С.173-176.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Хомченко А.Н. , Моисеенко С.В. , Цыбуленко О.В. Моделирование трансляционных функций формы на гексагоне

Астионенко И.А., Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Моделирование физических полей с распределенными параметрами в многоугольных областях

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Лагранжева модель потенциального поля

Гасанов А.С. Алгоритм адаптивного определения математических моделей объектов с помощью гармонического анализа

Завальнюк И.П., Бражник А.М., Завальнюк О.П. Моделирование динамики выхода технологического аппарата из критического режима эксплуатации.

Кирюшатова Т.Г., Чёрный С.Г. Моделирование процессов распределения функ-ций персонала в управлении организацией.

Кирюшатова Т.Г. Математическое моделирование коллективной деятельности в иерархических системах управления.

Никольский В.В., Сандлер А.К. Моделирование процессов в вискозиметре с пьезоэлектрическим приводом.

Соколова Н.А., Григорова А.А. Моделирование процесса контроля знаний

Клименко Д.С. Моделирование натяжения нити при смотке с конической бобины в процессе партионного снования.

Никольский В.В. Моделирование процессов в вискозиметрах с пьезоэлектрическим приводом

Сандлер А.К. Моделирование процессов в волоконно- оптическом акселерометре

Багашов И. И. Математическое моделирование работы горнорудного предприятия, функционирующего в различных рыночных условиях.

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Приложение положений теории дросселя и трансформатора к расчету и анализу электромагнитом переменного тока.