Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 519.6

ЛАГРАНЖЕВА МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ

 Хомченко А.Н., Моисеенко С.В.

Постановка проблемы.  Основная проблема алгебраизации  задач теории потенциала связана с обеспечением достаточной точности и вычислительной устойчивости дискретных аналогов уравнения Лапласа. Конечно-разностные аналоги рассматриваются здесь с точки зрения конечно-элементной техники интерполяции. Это позволяет изучить зависимость структуры интерполянта от схемы расположения расчетных узлов в шаблоне. Подходящий интерполянт используется для исследования характера интерполирующей поверхности в окрестности контрольного узла  (в центре шаблона). Такой анализ дает возможность установить причины возникновения невязок в межузловых промежутках.

Анализ предшествующих публикаций и цели статьи.  Одно из первых применений МКР для решения уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле связывают с появлением вычислительного шаблона «крест» (Л.Ричардсон, 1910). Ключевые идеи метода, а также вопросы устойчивости разностных схем изложены в [1-4]. Обычно КР-аналоги производных конструируют  с помощью тейлоровских разложений искомой функции в окрестности контрольного узла с последующим усечением ряда. Наша цель – аппроксимировать потенциальное поле путем прямого построения на шаблоне МКР интерполяционного полинома в форме Лагранжа, как это принято делать в методе конечных элементов (МКЭ). В зависимости от расположения расчетных узлов мы рассматриваем стандартный «крест», жестко вмонтированный в  декартову систему прямоугольных координат, и ортогональный «крест», повернутый на 450.

Основная часть.  Пусть контрольный узел О помещен в начало координат (рис.1).

         

                                      
                                                                                                                                  

                                                                                                     
£ 1;
                                                                                                      
£  1.
                                                                                                     

 

 

 

 

Рис.1. Две основные схемы МКР.

Не уменьшая общности рассуждений, будем считать, что ячейки сетки имеют форму квадрата с единичной стороной. Сплошными линиями изображен стандартный «крест», пунктиром – повернутый. Конечный носитель гармонической функции – квадрат 5678.

Начнем с построения интерполяционного полинома на стандартном «кресте». Учитывая число расчетных узлов, будем строить полином в виде

         

                                                                     (1)

 

Наш выбор продиктован естественным стремлением сохранить геометрическую изотропию поля. В решении (1) мы реализуем нетрадиционный вариант разделения переменных. Традиционно разделение переменных достигается  представлением решения  в виде произведения  функций, каждая из которых зависит от меньшего числа перемен- ных, чем в исходном уравнении . Однако, для ряда задач проблема разделения переменных решается другим способом. Например, представление решения в виде суммы функций, каждая из которых зависит от меньшего числа переменных. Такой метод используют в классической механике при решении дифференциальных уравнений [5]. Поверхность (1) образуется перемещением (трансляцией) образующей параболы второй степени по направляющей параболе второй степени. В теории оболочек такие поверхности называют трансляционными. Очевидно, что эти параболы имеют различные направления выпуклости, так как  < 0.

Использование интерполяционной гипотезы Лагранжа

          (i = 0,1,2,3,4)

приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров ai. Подставляя коэффициенты ai в (1), путем несложных преобразований приведем полином к форме Лагранжа:
                                             ,                                                                 (2) 
где
fi – узловые значения функции на стандартном шаблоне; Li(x,y) – коэффициенты Лагранжа, обладающие свойствами:

  1,  i=k,

                                                                                  Li (xk,yk)=

                                                                      0,  ik,          

 

 

Приведем явные выражения коэффициентов Лагранжа на стандартном «кресте»:

         

Перейдем к построению интерполяционного полинома на повернутом «кресте». Очевидно, что и в этом случае полином должен содержать пять параметров. Однако, попытки воспользоваться формой (1), наталкиваются на непреодолимые  трудности, так как матрица СЛАУ вырождается. Попытаемся использовать полином

                                                               (3)

Как видим, интерполяционный полином зависит от ориентации шаблона на конечном носителе. Теперь для аппроксимации потенциального поля мы имеем следующий полином в форме Лагранжа:

 

                                       (i =0, 5, 6, 7, 8),                            (4)

где        

 

На рис.2 и 3 изображены функции формы (коэффициенты Лагранжа) в центральном и периферийном узлах для стандартного и повернутого шаблонов соответственно.

                                                                          









 

Рис.2  Функции формы L0(x,y)  и L3(x,y) на стандартном шаблоне.

 

 









Рис.3 Функции формы   L0(x,y)  и L7(x,y)  на повернутом шаблоне.

Как и следовало ожидать, независимо от ориентации шаблона обращение лапласиана в нуль дает одинаковые КР-аналоги уравнения:

                                            

                                  ,                                                                                 (5)
                                                                                          

 


                                            ,                                                                               (6)

 

 

Заметим, что подстановка (4) в уравнение Лапласа дает невязку

которая зависит от координат произвольной точки в носителе. Возможно, именно эта  за-висимость – одна из причин вычислительной неустойчивости на повернутом шаблоне [6].

Чтобы получить вычислительную формулу повышенной точности (на 9 узлов), достаточно наложить один шаблон на другой, а формулу (5) и (6) взвесить по правилу Симпсона с коэффициентами  и  соответственно:

.

 

Выводы.  Для построения КР-аналогов уравнения Лапласа вместо тейлоровских разложений в окрестности контрольного узла можно использовать специальные полиномы в форме Лагранжа, как это принято в МКЭ. Представляет интерес прямое построение девятипараметрического полинома Лагранжа на шаблоне повышенной точности с целью получения соответствующего КР-аналога.

 

        In the article the possibility of construction of a polynomial in the shape of the Lagrange for interpolation of a potential field for the first and second the basic plans of method of finite differences from the point of view of a finite element method is described. It is shown, that the boosted exactitude of finite-difference of the equation of the Laplace is reached by weighing of two basic plans with Simpson’s rule (1:4).

 

1.                  Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: Гостехиздат, 1949.- С.179-258.

2.                  Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. - М.: Наука, 1971.-С.131-187.

3.                  Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967.- С.257-269.

4.                  Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. - Л.: Стройиздат,1971.- С.127-140.

5.                  Метьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. - М.: Атомиздат, 1972.- 392с.

6.                  Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977.- 349с.

 

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Хомченко А.Н. , Моисеенко С.В. , Цыбуленко О.В. Моделирование трансляционных функций формы на гексагоне

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Дембровская М.В. Барицентрические оценки электростатического поля в круге.

Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Лурье И.А. Метод барицентрического усредне-ния граничных потенциалов с квадратичной интерполяцией электростатического поля.

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Бражник Д.А. Управление совмещением изображения объекта в сцене и эталонного изображения.

53 Физика

Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко Е.И. Сглаженное усреднение граничных потенциалов на сирендиповых элементах

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Цибуленко О.В., Манойленко О.С. Альтернативні моделі стаціонарної температури в кубі – С. 91 – 94.

Астионенко И.А., Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Моделирование физических полей с распределенными параметрами в многоугольных областях

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.