Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 519.873

МОДЕЛЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО – ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УЧЁТОМ ЧАСТИЧНОГО КАЛЕНДАРНОГО ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Песчанский А.И., Приходько Р.А.

Одной из важных проблем надёжности функционирования технических систем является организация технического обслуживания (ТО). Модели и стратегии ТО одно- и двухкомпонентных систем изучались достаточно интенсивно. Обзор работ по этой тематике можно найти в работах [1, 2]. Исследование многокомпонентных систем вызывает существенные трудности, связанные с размерностью и структурой системы. С классами моделей и методов исследования таких систем можно ознакомиться по работам [1-3]. 

В данной статье исследуется многокомпонентная система, имеющая следующую функциональную структуру: часть элементов системы соединены последовательно, а остальные параллельно. Распределения времен безотказной работы элементов и их восстановления предполагаются общего вида. В некоторый момент времени после начала работы проводится предупредительное ТО (полное обновление) элементов только последовательной части системы.

Требуется найти основные стационарные характеристики системы и определить оптимальные сроки проведения ТО.  

Для решения задачи привлекается аппарат теории полумарковских процессов с дискретно – непрерывным фазовым пространством состояний. Приближённые значения стационарных характеристик системы находятся с помощью метода, основанного на алгоритме фазового укрупнения [4,5].

Система состоит из N+M технологических ячеек (ТЯ), из которых N ТЯ соединены последовательно между собой, а остальные M ТЯ – параллельно. Время безотказной работы i-той ТЯ из последовательной цепочки – случайная величина (СВ)  с функцией распределения (ФР)  ,  время безотказной работы j-той ТЯ из параллельной части системы - СВ  с ФР  , . Индикация отказа ТЯ происходит мгновенно и восстановление (аварийное) i-й ТЯ из последовательной части системы длится случайное время   с ФР ,, а восстановление j-й ТЯ из параллельной части – случайное время  с ФР ,.

Отказ системы наступает либо в результате отказа любой ТЯ из последовательной цепочки, либо в результате отказа всех ТЯ, соединённых параллельно. При отказе системы работоспособные ТЯ отключаются, после возобновления работы отключённые ТЯ включаются в работу с теми же характеристиками безотказности, с которыми их застал отказ.

В момент начала работы системы (нулевой момент времени) планируется проведение предупредительного ТО последовательной части системы через время, получаемое как реализация СВ  с ФР . При этом ТО проводится только в том случае, если система находится в работоспособном состоянии. В противном случае проведение ТО перепланируется через время .  Длительность проведения ТО – СВ  с ФР . В момент окончания ТО последующее ТО перепланируется. Предполагается, что после проведения любой из восстановительных  работ ТЯ полностью обновляются. СВ ,, , ,, , ,  предполагаются независимыми в совокупности, имеющими соответствующие плотности распределения , , , , ,  конечные математические ожидания , , , , , . Требуется определить следующие стационарные характеристики системы при условии быстрого восстановления её элементов: среднюю наработку на отказ , среднее время восстановления , коэффициент готовности Кг; найти оптимальные моменты проведения ТО последовательной части для достижения максимального значения коэффициента готовности. 

Построим полумарковскую модель рассматриваемой системы. Введём следующую кодировку физических состояний ТЯ: 1 – ТЯ находится в работоспособном состоянии, 0 – в отказовом состоянии. Кодами физических состояний системы будут совокупности двух двоичных векторов  и . Компоненты N-мерного вектора  описывают состояния ТЯ из последовательной части, а компоненты M – мерного вектора  - состояния ТЯ из параллельной части системы.

Фазовое пространство полумарковских состояний рассматриваемой системы S имеет вид:

,

где i(j) – номер ТЯ, изменившей своё состояние последней,  - время, оставшееся до ближайшего изменения состояния к-ой последовательной ТЯ, ;  - время, оставшееся до ближайшего изменения состояния к-ой параллельной ТЯ, ; - векторы, у которых соответственно i-я и j-я компоненты равны нулю, z – время до ближайшего планового момента проведения ТО. Кодом  обозначено начало проведения ТО,  - начало работы системы после ТО, - наступление планового момента проведения ТО, которое не проводится вследствие нахождения системы в отказе.

Для нахождения приближённых значений стационарных характеристик используем метод, основанный на алгоритме фазового укрупнения [4,5].

Предположим, что времена аварийного восстановления ТЯ и длительность ТО зависят от некоторого малого параметра  так, что для , ,  справедливы предельные равенства .

Опорная система имеет пространство состояний:

{ ,, ; , , ; ; },

где  - вектор, все компоненты которого равны 1, () – вектор, у которого i-я
(j-я) компонента равна 0, остальные 1.

Временная диаграмма функционирования опорной системы приведена на рис. 1.

Фазовое пространство системы  разобьём на два непересекающихся подмножества  и :  - подмножество работоспособных состояний,  - отказовых состояний. Приближённые значения стационарных характеристик системы: среднюю наработку на отказ , среднее время восcтановления , коэффициент готовности Кг, найдём по формулам [4,5]

,,,                 (1)

где  – стационарное распределение ВЦМ  опорной системы;  – средние времена пребывания в состояниях исходной системы;   – вероятности переходов ВЦМ  исходной системы из работоспособных состояний в отказовые.

Стационарное распределение  ВЦМ  удовлетворяет системе интегральных уравнений 

            (2)

где ()  - N(M) – мерные ортанты векторов с неотрицательными компонентами; , .

Решения системы (2) определяются формулами (3):

    (3)

где , ,  - плотность функции восстановления  рекуррентного потока, порождённого СВ ,  - плотность функции распределения остаточного времени восстановления (перескока).

Приближённое значение стационарного коэффициента готовности, используя  (1) находится по формуле  

.

В работе [1] доказано, что локальные экстремумы дробно – линейного функционала достигаются на вырожденных функциях распределения. Если , тогда коэффициент готовности Кг  зависит от параметра :

,

Оптимальный момент времени  проведения ТО последовательной части системы,  при которых  Кг  достигает экстремального значения, находится из уравнения

,                                (4)

В случае существования единственного корня (4) оптимальные показатели качества функционирования системы определяются формулой

.                                     (5)

Если уравнение (4) имеют несколько корней, оптимальные значения  находятся прямой подстановкой каждого их них в формулу (5) для случая единственного корня с последующим отбором лучшего из них, причём необходимо учесть значение показателя при  :

.

С помощью предложенной в работе методики определяются оптимальные сроки проведения ТО системы для достижения экстремальных значений экономических показателей качества функционирования системы. В качестве примера их использования приведём задачу: имеется 6 последовательно соединённых ячеек, пять из которых - средней надёжности и одна (шестая)– низкой. Требуется оценить, какой из следующих способов наиболее экономически целесообразен:

1.      проводить плановое ТО всех шести ТЯ.

2.      дублировать низконадёжную ТЯ (поставить параллельно ей нагруженный резерв), и проводить ТО только последовательной цепочки (пяти ТЯ средней надёжности).

Таблица 1.

Исходные данные системы (,)

Рис. 1. Сравнение стратегий ТО: Зависимость средней прибыли S и средних затрат C от времени между ТО соответственно для первой и второй стратегий ТО

1.                  Барзилович Е.Ю. Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. – М.: Сов. радио, 1971. – 272 с.

2.                  Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надёжности систем (теория и практика). – М.: “Европейский центр по качеству”, 2002. – 470 с.

3.                  Dekker R., Wildeman R.A. A review of  multi-component maintanence models with economic dependence// Math. methods of oper. res. – 1997. – 45. – P. 411 – 435.

4.                  Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надёжности систем. – К.: Наук. думка, 1982. – 236 с.

5.                  Корлат А.Н., Кузнецов А.Н., Новиков М.И., Турбин А.Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания. – Кишинёв: Штиинца, 1991. – 209 с.