Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 681.5.015.24

МЕТОД КОМПЕНСАЦИИ ОШИБОК ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ

Поливода О.В., Бражник А.М.

Введение.

Современная теория управления включает методы оптимального управления, с помощью которых можно разрабатывать оптимальные системы управления (т.е. системы, при функционировании которых минимизируется или максимизируется некоторый критерий качества), а также методы идентификации, которые позволяют определить структуру модели объекта управления [1]. Однако ошибка модели объекта вызывает ошибку статизма, и оптимальный регулятор не обеспечивает достижения заданного состояния. Для таких случаев в системе управления необходимо реализовать гарантийную составляющую, которая значительно уменьшит ошибку модели.

Постановка задачи.

В постановке задачи появляется вопрос об устранении ошибки статизма при оптимальном управлении. Рассмотрим линейно-квадратичные задачи.

Требуется обеспечить достижение заданного целевого состояния с наименьшими возможными затратами ресурса управления. Качество управления определяется квадратичным критерием вида

где матрицы динамики А(t), B(t) в общем случае зависят от времени, весовые матрицы S_f , F(t) симметричны и положительно полуопределены, а весовая матрица E(t) симметрична и положительно определена.

Так как ошибка модели объекта вызывает ошибку статизма необходимо реализовать составляющую, которая уменьшит ошибку статизма.

Решение задачи

Решим поставленную задачу, предполагая, что модель объекта управления не содержит ошибок[2-4]. Для критерия (2) оптимальный регулятор задается выражением

Таким образом, выведены зависимости, определяющие П-регулятор с зависящим от времени матричным коэффициентом усиления.

Рассмотрим химический реактор с непрерывным перемешиванием, в котором идет многокомпонентная реакция[2].

Введем квадратичный критерий

Решение этой задачи дается формулами (3), (4) в которые нужно подставить

Коэффициент усиления  задает закон оптимальной обратной связи

Исследуем качество полученного регулятора для следующих значений параметров: Da₁=3,  Da₂=0,5,  Da₃=1,  x_1d=0,3,  x_2d=0,4,  u_d=0,1,  x₁(0)=1,  x₂(0)=0,  t_f=2,      

Выходы оптимального регулятора обеспечивают достаточно точное попадание в заданное состояние x_1d , x_2d.

Исследуем влияние ошибки модели на статическую ошибку управляемого процесса.

Рис.1 Зависимость статической ошибки от ошибки модели

Из рис.1 видно, что при  ∆a₂₁>0,3 статическая ошибка превышает 5%, полученный оптимальный П-регулятор не обеспечивает достижение заданного состояния, и возникает необходимость реализации гарантийной составляющей, которая значительно уменьшит ошибку модели. Гарантийную составляющую можно реализовать в виде интегральной составляющей, т.е. оптимальный регулятор будет ПИ-регулятором.

Один из методов получения интегральной составляющей – введение  производной  непосредственно в критерий оптимальности[2].

При этом необходимо продифференцировать уравнения динамики процесса.

После замены переменных

Перейдем к уравнению

и критерию оптимальности

Воспользуемся теперь выражением оптимального закона регулирования

Для того чтобы это уравнение выполнялось при произвольных значениях x(t), необходимо, чтобы обращался в нуль матричный множитель при x(t). Оптимальный регулятор задается выражением

Тогда получим

или возвращаясь к исходным переменным,

В установившемся состоянии  при  оптимальный регулятор примет вид

Применив этот метод к задаче о химическом реакторе, получим оптимальный ПИ-регулятор в виде

Рис.2 Поведение замкнутой системы с П-регулятором при отсутствии ошибки модели

Рис.3 Поведение замкнутой системы с П-регулятором при наличии ошибки

модели

Рис.4 Поведение замкнутой системы с ПИ-регулятором

Использование интегральной составляющей позволило снизить ошибку статизма, при этом время регулирования увеличилось незначительно.

 В приведенных примерах моделирование проводилось в пакете MATLAB-Simulink.

Заключение

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что гарантийная составляющая, необходимая при невысокой частоте идентификации, позволяет устранить ошибки статизма при оптимальном управлении. Гарантийную составляющую можно реализовать в виде интегральной составляющей регулятора.

1.                 Д. Гроп. Методы идентификации систем. – М.:Мир, 1979. – 302 с.

2.                 У. Рей. Методы управления технологическими процессами. – М.:Мир, 1983. – 368 с.

3.                 Х. Квакернаак, Р.Сиван. Линейные оптимальные системы управления. – М.:Мир, 1977. – 653 с.

4.                 Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А. А. Красовского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 712 с.