Автоматика.
    Автоматизация.
        Электротехнические
            комплексы и системы.

УДК 681.5

 

ОПТИМИЗАЦИЯ  И УПРАВЛЕНИЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ФЕРРОКЕРАМИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ ДЛЯ ОТКЛОНЯЮЩИХ СИСТЕМ

Усов А. В., Дубров К. А.

Введение.            В современном приборостроении, аппаратостроении, электромашиностроении, радиоэлектронике, средствах телекоммуникаций широкое распространение получили постоянные магниты из высококоэрцитивных и особо высококоэрцитивных анизотропных сплавов.

Технология производства постоянных магнитов носит прецизионный характер и основывается на оптимальных зависимостях физико-механических свойств магнитов от состава сплава гетерогенной структуры и температурно-силовых факторов при их обработке.

В условиях производства при очень большой номенклатуре магнитов по малогабаритным характеристикам и разнообразии способов их получения чрезвычайно трудно осуществить оптимальные технологические режимы для получения изделий.

Поэтому важное значение имеет сознательное управление технологическими процессами и их корректировка применительно к различным типам магнитов.

Особенно актуальной является задача отыскания оптимальных условий при их спекании [1].

При спекании феррокерамических изделий процесс уплотнения и рекристаллизации протекает тем быстрее, чем выше температура. Но высокая температура способствует повышению дефектности кристаллической решетки. А это значит, что образующиеся в этих условиях в кристаллах  феррита формируется дефектная структура. Такая структура сохраняется, если феррит подвергается быстрому охлаждению. Наличие дефектов кристаллической решетки решающим образом отражается на прочности ферритов. Есть основания считать, что дефектность решетки кристалла оказывает существенное влияние и на магнитные свойства ферритов.

Известно, что при высокотемпературном нагреве теплофизические параметры нагреваемых материалов (предел прочности – s_в, коэффициент теплопроводности – l и др.) претерпевают значительные изменения. Однако в виду сложности соответствующих выкладок при исследовании задач оптимального нагрева с фазовыми ограничениями, эти факторы, как правило, не учитываются, либо учитываются частично, не в полной мере [2].

В настоящей работе исходная нелинейная задача теплопроводности методом последовательных приближений сводится к итерационному процессу, где на каждом шаге решается задача, описываемая линейным уравнением параболического типа с нелинейными фазовыми ограничениями[3].

Постановка задачи.            Процесс спекания ферритов описывается следующими соотношениями [4]:

 

  x Î (0, l), t Î (0, ¥),                                    (1)

T(x, 0)=T°=const,  x Î [0, l],                                     (2)

  t Î [0,],  0<<¥,                                    (3)

,  t Î [0,],                                                (4)

где           T – температура (°С); t – время; с – коэффициент теплоемкости; r – плотность; l – коэффициент теплопроводности; l – толщина поверхностного слоя; х – пространственная координата; a – коэффициент теплообмена; n(t) – управление, n(t) Î V, V={n=n(t): n(t) Î L₂ [0,]}; q – тепловой поток, поступающий на поверхностный слой.

В промежутке изменения температур [T₁, T₂] функция l(T) положительна и в силу теплофизических свойств материала она имеет ограниченную производную по T. Кроме того, предположим, что в рамках возможных значений рабочих температур T Î [T₁, T₂] значения функции l(T) определяются выражением:           

 

0< b₁ £ l(T) £b₂.                                                       (5)

 

При указанных условиях система уравнений (1)–(4) при каждом фиксированном n(t) Î V имеет обобщенное решение из пространства , где .

По условию задачи недопустимо, чтобы феррокерамические изделия были нагреты до температуры перехода от ферромагнетизма к парамагнетизму – т.н. точки Кюри.

Обычно феррокерамические изделия разрушаются при нагреве хрупко, без сколь-нибудь заметных деформаций или переходящие под воздействием термонапряжений в пластическое состояние.

Задача термоупругости в квазистатической постановке и в предположении, что a_T – коэффициент линейного расширения, Е – модуль упругости, не зависят от температуры, решается аналитически [4, 5]. Анализ термонапряжений показывает, что в условиях рассматриваемой задачи растягивающие напряжения наибольших значений достигают на оси, а сжимающие – на поверхности нагреваемой детали. С учетом вышесказанного, ограничения на термонапряжения можно записать в виде:

 

                        (6)

                 (7)

 

где          

y – коэффициент Пуассона; Г Î [0, 1] – параметр, характеризующий степень защемления от поворота края обрабатываемого слоя; , ,  – пределы прочности на растяжение, сжатие и предел текучести соответственно.

Кроме выполнения неравенств (6)–(7), потребуем выполнения ограничения на максимальную температуру в поверхностном слое. Она не должна превышать, например, температуру структурных превращений T_s в материале поверхностного слоя, т.е.:

 

T(l, t)£ T_s .                                                                  (8)

 

Найдем управление n°(t) Î V, t Î [0, t°], переводящее за минимальное время t°, 0< t° <, термомеханическое состояние поверхностного слоя, которое описывается системой уравнений (1)–(4) из начального положения (2) в заданное конечное тепловое положение  с фиксированной точностью:

так, чтобы при всех t Î [j, t °], j=const>0, были бы выполнены неравенства (6)–(8).

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом последовательных приближений [6]. В силу принципа максимума [7]:

 

            m £ T(x, t) £ M,                                                         (9)

 

где           М=

m=.

            Пусть T₁=m, T₂=М, ,                                                                            (10)

 

Системе уравнений (1)–(4) поставим в соответствие следующий итерационный процесс:

 

                                                           (11)

            T_к+1(x, 0)=T°,  х Î (0, l),                                                        (12)

                                  (13)

                                                         (14)

 

Решение задачи (1)–(4) будем искать как предел решений задач (11)–(14) в пространстве .

Так как функция l(T) положительна, удовлетворяет соотношению (5) и имеет ограниченную по Т производную на отрезке [T₁, T₂], то при любом фиксированном управлении n(t) Î V решения T_к+1 системы уравнений (11)–(14) сходятся при k®¥ к решению системы (1)–(4).

Для удобства последующих выкладок запишем систему уравнений (11)–(14) и ограничения (6)–(7) в безразмерных единицах:

 

 

 

 

            .                                           (15)

 

Исходная задача (11)–(14) с учетом безразмерных переменных (15) примет вид:

            ,              (16)

                                                       (17)

                               (18)

                                                          (19)

                            (20)

                               (21)

 

Ограничения на максимальную температуру соответственно будут иметь вид:

 

                                                                          (22)

 

Воспользовавшись конечным интегральным преобразованием Фурье [9]:

 

 

запишем решение системы уравнений (16)–(19) в виде ряда:

 

                                              (23)

 

где           ;

- корни уравнения                                                         (24)

 

– компоненты вектора решений бесконечной системы дифференциальных уравнений:

 

                                                          (25)

 

Неравенства (20)–(21) примут вид:

 

                                             (26)

где           ;

                          (27)

;

.

Система функций {cos (m_nr)} ортогональна и полна в пространстве L₂ [0, 1]. Поэтому при всех r Î [0, 1] для функции  справедливо разложение:

 

                                                      (28)

где 

Сформулируем конечномерную задачу оптимального управления. Для этого ограничимся в соотношениях (23), (25), (26) первыми N членами и получим:

 

            ,                         (29)

                                                        (30)

 

где        – N-мерная вектор-функция;

– диагональная матрица NxN;

– матрица 3xN с элементами C_in, i=1, 2, 3;

;

.

Таким образом, можно перейти к следующей конечномерной задаче.

Найти управление , переводящее систему (29) за минимальное время  из положения 0RN в множество  при выполнении для всех  ограничений (30). В работе [9] приведен алгоритм, позволяющий решать аналогичные задачи независимо от размерности N.

Выпишем условия, при которых конечномерные приближения сходятся по функционалу быстродействия. Будем рассматривать наиболее важный с практической точки зрения случай, когда поверхностный слой не подвергается изгибу, т.е. случай Г=0.

Тогда, задача оптимального нелинейного нагрева феррокерамических изделий с ограничениями на термонапряжения и на наибольшую температуру сводится к решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

 

            ,    (31)

с ограничениями на фазовые переменные и управление

 

            ,                                              (32)

 

где   – N-мерный вектор

– известные матрицы размерности соответственно (NxN), (Nx1), (Nx1) c кусочно-непрерывными коэффициентами;

– управление,.

Функции  – кусочно-непрерывны по t, выпуклы по совокупности переменных (х, u) и имеют по этим переменным производные, удовлетворяющие условию Липшица по (х, u).

Искомое управление , переводит систему (31) из положения х₀ в положение 0_RN за минимальное время  так, что при всех  выполнились бы неравенства (32).

Согласно алгоритму [9] строим последовательные оценки снизу времени быстродействия .

В качестве нормали на шаге k рекомендуется брать [10] антиградиент функционала
r(p, t_k), характеризующий расстояние от точки q_s до множества S(t_k):

 

              (33)

 

Если t_k<, то направление нормали определяется по формуле:

 

                    (34)

 

где   находится из решения задачи.

Минимизация функционала (33) обеспечивается, если на k – итерации в конечный момент времени  выполняются неравенства:

 

,              (35)

 

где   – среднее значение величин .

В работе [11] доказано, что реализация приведенного алгоритма обеспечивает существование при любых e₁, e₂, зависящих от номера k(e₁, e₂) таких, что при k> k(e₁, e₂)   оптимального управления.

 

Результаты вычислительного эксперимента

Предложенный подход к решению нелинейных задач теплопроводности с фазовыми ограничениями был апробирован на следующей задаче: нагреть магний - цинковый феррит марки 7М62 толщиной 2l=0,01 м с начальной температурой 20 °С до конечной (постоянной по сечению) температуры 900 °С за минимальное время с учетом ограничений на термонапряжения s_i и температуру T_cn, которая не должна превышать 900 °С. Температура греющей среды (градиент температуры) менялась в диапазоне [400 °C, 1000 °C]. Зависимость предела прочности от температуры [12] представлена в табл. 1.

 

Таблица 1

Температура, °С		20	400	600	800	1000
Предел прочности, МПа	sс	1015	960	805	660	585
	sр	710	700	600	400	195

 

После перехода к безразмерным величинам зависимости s_с(q) и s_р(q) аппроксимировались с использованием метода наименьших квадратов нелинейными соотношениями вида .

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приведены в табл. 2 [12].

 

Таблица 2

Температура, °С	20	200	400	600	800	900	1000	1100
l (Т°), Вт/(т×°С)	32	38	40,5	41,3	43	45	46,5	47,5

 

В безразмерном виде экспериментальная зависимость l(T) аппроксимировалась линейной функцией .

На каждом шаге итерационного процесса линеаризованная задача решалась для N=6. Выбор такой размерности конечномерной системы объясняется тем, что для меньших N медленно сходящиеся ряды в термоограничениях не позволяют получить хорошее приближение к точному решению линеаризованной задачи l(T)=const. Результаты вычислительного эксперимента, приведенные в [13] для аналогичной линейной задачи с линейными фазовыми ограничениями показывают, что при N=3 время быстродействия составляет 3,0 мин., при N=5 - 4,0 мин., а при N=6 - 4,5 мин. При дальнейшем увеличении N рост времени быстродействия несущественен.

Всего потребовалось 6 итераций, чтобы получить заданную точность. На рис.1 приведены графики зависимостей от времени оптимального управления, температур поверхности и центра образца после шестой итерации. Время быстродействия составило 4,0 мин., оптимальное управление имеет 25 переключений. На рис. 2 и рис. 3 приведены соответственно графики зависимости пределов прочности на сжатие и растяжение, а также сжимающих и растягивающих термонапряжений от времени при оптимальном режиме нагрева. Как видно из рис. 2 скорость нагрева ограничивают не только растягивающие, но и сжимающие термонапряжения. Традиционно же учитывались только растягивающие термонапряжения [5] и ограничения на температуру поверхности.

Резюме. Предложенный подход решения задачи оптимального нелинейного нагрева с ограничениями на термонапряжения и наибольшую температуру можно использовать для управления термомеханическими процессами при спекании феррокерамических изделий и их термомеханической обработке.

Состав феррита, режим термомеханической обработки являются определяющими в получении изделий с требуемыми характеристиками к которым в первую очередь относятся прочностные свойства и магнитная проницаемость.

Поэтому для реализации технологического процесса изготовления деталей из феррокерамики с обеспечением необходимых свойств, предлагается следующий алгоритм оптимального управления термомеханическими процессами на операциях спекания и термомеханической обработки (Рис.4 ).

 

Рис. 1 Графики зависимостей от времени оптимального управления - 1, температур поверхности - 2 и центра - 3 после шестой итерации

 

Рис. 2 Графики зависимостей пределов прочности на сжатие - 1 и растяжение - 2 от времени при оптимальном режиме нагрева

Рис. 3 Графики зависимостей сжимающих - 1 и растягивающих - 2 термонапряжений от времени при оптимальном режиме нагрева

 

Для оптимизации управления  технологической системой необходимо в ограничительную часть внести критерии качества обрабатываемых изделий при максимальных показателях технологического процесса [12].

На рис. 4 приведен алгоритм обеспечения качества спекания и термомеханической обработки при максимальной производительности технологического процесса изготовления ферритов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4 Алгоритм обеспечения качества обрабатываемых поверхностей при максимальной производительности технологической системы

 

 

1.                  Рабкин Л.И., Соскин С.А., Эпштейн Б.Ш. Ферриты. Строение, свойства, технология производства. – Л: Энергия, 1968. – 384с.

2.                  Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. – М: Наука, 1965. – 474 с.

3.                  Якимов А.В., Усов А.В., Слободяник П.Т. Теплофизика механической обработки. - К.: Одесса: Лыбидь, 1991. - 240 с.

4.                  Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. - Киев: Наукова думка, 1988. - 313 с.

5.                  Усов А.В., Дубров А.Н., Дмитришин Д.В. Моделирование систем с распределенными параметрами. - Одесса: Астропринт, 2002. - 664 с.

6.                  Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. - М.: Физматгиз, 1963. - 254 с.

7.                  Ладыженская О.А., Соломников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

8.                  Голичев И.И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. - Уфа: ВНЦ Уро АН СССР, 1989. - 172 с.

9.                  Снеддон И. Преобразования Фурье. - М.: ИЛ, 1955. - 540 с.

10.              Кирин Н.Е. Последовательные оценки экстремалей управляемых динамических систем. - ЛГУ, 1975. - 160 с.

11.              Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980. - 518 с.

12.              Гохфельд Д.А., Гецов Л.Б. Механические свойства сталей и сплавов при нестационарном нагружении. Справочник. - Екатеринбург: Уро РАН, 1996. - 408 с.

13.              Бурак Я.И., Подетригач Я.С. Оптимизация нагрева пластин и оболочек. - К.: Наукова думка, 1979. -364 с.