УДК 674.142.2.03

Введение

Характерными чертами нашего времени являются сложность, развитие и изменения. Усилия в создании энергетических установок большой мощности и быстро­действующих систем управления, разработке новых ма­териалов, убыстрении транспортных средств и развитии глобальной системы связи вовлекли нас в условия взаи­мозависимости материалов, оборудования и человека, которые существовали ранее на более или менее совер­шенно независимой основе, если в действительности они вообще существовали. Связанная с этим потребность в понимании и приведении в терпимое взаимодействие кажущихся не связанными человека и машины вызвала прогрессирующее дробление и дифференциацию наук и специализаций.

В работе представлен подход, основанный на понятии эквивалентного комплексного коэффициента усиления, который может быть использо­ван для анализа влияния нелинейности в сложных или простых системах регулирования. Эффективность этого подхода не ограничивается числом элементов, накапли­вающих энергию, и этот подход дополняет нормальные процедуры, используемые при анализе и синтезе линей­ных систем. В этом смысле он представляет собой мощ­ный инженерный метод.

В случае линейных систем регулирования на вопрос об устойчивости конкретной системы всегда имеется определенный ответ, зависящий только от значений па­раметров системы [1]. Использование критериев Рауса и Найквиста, метода корневого годографа или знание за­паса по фазе позволяет судить об устойчивости системы. С помощью этих методов можно определить, приведет ли приложение к системе, находящейся в начальный мо­мент в состоянии покоя, управляющего сигнала или воз­мущения произвольной величины при условии, что линейность системы не нарушается, к затухающему пере­ходному процессу при отключении внешнего воздейст­вия для устойчивой системы или к возрастанию выход­ной величины, монотонному или колебательному — для не­устойчивой системы.

Для нелинейных систем регулирования устойчивость систем зависит не только от их параметров, но также от величины входного или возмущающего воздействия. Бо­лее того, система может иметь ряд различных видов ре­акций при отключении входного или возмущающего воз­действия. Может иметь место устойчивый режим или неустойчивый режим в смысле соответствующего режи­ма линейной системы. Поскольку для ряда условий не­линейного режима работы отклонение параметров систе­мы от их линейных значений может быть мало или имеет место лишь при чрезвычайно больших значениях вход­ных величин, система с точки зрения устойчивости иног­да может рассматриваться как линейная.

Постановка задачи

Незатухающие колебания постоянной амплитуды, оцениваемой как большая или малая в зависимости от требуемой точности регулирования представляют собой другой тип реакций, который может иметь место при приложении возмущений к системе регулирования [2]. Рассмотрим типичные пере­ходные процессы в нелинейных системах с малой и боль­шой амплитудами незатухающих колебаний соответст­венно. Амплитуды незату­хающих колебаний могут рассматриваться как большие или малые в зависимости от того, можно ли пренебречь влиянием этих незатухающих колебаний. Надо отметить, что при оценке допустимости колебаний следует учитывать не только амплитуду колебаний, но также влияние колебаний на такие факторы, как перегрев оборудова­ния или уменьшение срока службы из-за чрезмерного износа. Короче говоря, если незатухающие колебания достаточно малы, чтобы их можно было считать допу­стимыми, то система рас­сматривается как устой­чивая. Если незатухаю­щие колебания настолько велики, что не могут счи­таться допустимыми, то говорят, что система не­устойчива.

В связи с устойчиво­стью нелинейных систем представляет интерес от­метить тот факт, что ам­плитуда входного сигнала или возмущение может определить характер пе­реходного процесса в си­стеме. Для малых входных сигналов система мо­жет быть устойчива в ли­нейном смысле, для боль­ших входных сигналов в этой же системе могут су­ществовать незатухающие колебания с фиксирован­ной амплитудой и, нако­нец, для еще больших входных сигналов система может оказаться неустойчивой в линейном смысле. Таким образом, прежде чем определить устойчивость нелинейной системы автомати­ческого регулирования, необходимо определить диапа­зон величин, характеризующих условия, в которых эта система будет работать.

Анализ задачи

Основные методы, применяемые для определения устойчивости нелинейных систем регулирования, опи­раются на понятие эквивалентного комплексного коэф­фициента усиления и используют критерий Найквиста для нахожде­ния условий устойчивости. Фундамент для анализа устой­чивости заложили Кохенбургер и Джонсон, и разработанные ими методы используются нами в дальнейшем. Несмотря на то, что методы исследования устойчивости по Ляпунову в настоящее время привлекают все боль­шее внимание, они в основном применимы к системам с небольшим количеством элементов, накапливающих энергию, и их использование в задачах с большим чи­слом таких элементов весьма ограничено.

В качестве примера анализа устойчивости системы в нелинейном режиме работы рассмотрим несложную систему регулирования с непосредственной обратной связью. Элементы системы, описываемые передаточными функциями  G() и G₂(), линейны и их передаточные функции зависят от частоты   , а не от амплитуды а сигналов на их входах. Произведение этих двух передаточных функций равно:

G () = G() G()                                                  (1)

Хотя объединение двух линейных элементов в один предполагает, что расположение нелинейности в системе регулирования не имеет особого значения, это, как будет показано далее, справедливо лишь в первом приближе­нии.

Элемент, описываемый передаточной функцией G'(а), является нелинейным; абсолютное значение и фаза его эквивалентного комплексного коэффициента усиления не зависят от частоты синусоидального сигнала, подаваемо­го на его вход, однако они зависят от амплитуды вход­ного сигнала.

При применении обычного линейного подхода к зада­че исследования устойчивости отношение С/R может быть выражено через передаточные функции и эквива­лентный комплексный коэффициент усиления следующим образом:

                                                                                              (2)

Условие, при котором происходит нарастание колеба­ний и имеет место неустойчивость в линейном смысле, заключается в равенстве нулю знаменателя выражения (2):

                                                                                                                (3)

Переписывая уравнение (3) следующим образом:

                                                G() = -                                                                                         (4)

можно получить соотношение между передаточной функ­цией G() и эквивалентным комплексным коэффициен­том усиления , при котором в системе существуют колебания нарастающей амплитуды. В связи с тем, что возрастание амплитуды колебаний изменяет значение G'(а), соотношение, определяемое формулой (4), справедливо лишь для какой-либо определенной ампли­туды и частоты колебаний. При таких условиях могут поддерживаться незатухающие колебания данной ампли­туды и частоты.

Вычисленные амплитуда и частота незатухающих колебаний могут несколько отличаться от значений, по­лученных экспериментально. Следовательно, этот метод может рассматриваться как неплохое качественное при­ближение к реальным характеристикам. Амплитуда  харак­теризует порядок величин амплитуд, при которых до­стигается граница устойчивости. При правильном проек­тировании должен выбираться подходящий коэффициент безопасности, обеспечивающий удовлетворительные ха­рактеристики системы и позволяющий избежать неза­тухающих колебаний.

Для иллюстрации подхода, использующего представ­ление системы на комплексной плоскости, рассмотрим условно устойчивую позиционную систему регулирова­ния, содержащую усилитель с насыщением, при различ­ных значениях амплитуды входного сигнала. Такой тип си­стемы может встретиться при обычном позици­онном регулировании, когда в качестве устройства, из­меряющего ошибку, или в качестве усилителя сигнала ошибки используется усилитель с характеристикой на­сыщения, позволяющая определить эквивалент­ный комплексный коэффициент усиления этого элемента.Далее для упрощения коэффициент усиления К, связанный, вообще говоря, с , будет считаться относящимся к передаточной функции . Тогда для этого случая можно считать, что  и  эквивалентны. Представим на комплексной плоскости годограф  как функцию частоты и годографы  и —1/ как функции величины a, или иначе, отношения входных сигналов . Для введения в систему возмущения или задающего воздействия предположим, что задающее воздействие в начальный момент времени имеет вид скачка.

Начальная ошибка, вызванная этим скачком, является входным воздействием усилителя с насыщени­ем и может считаться соответствующей максимальному значению входного сигнала . Для малых значений  система не находится в насыщении, а = 1,0 и имеет место обычный устойчивый режим работы условно устой­чивой линейной системы. Точка (—1, +0) не охвачена кривой  и, кроме того, нигде не имеет место равенство 

.

Для больших величин задающего воздействия, таких, что, но  значение находится на отрицательной действительной полуоси, но ни при каких значениях  или а не выполняется равенство . Следовательно, система устойчива; регулируемая величина С при подаче на вход задающего воздействия большой величины будет вначале коле­баться, но затем установится устойчивый линейный ре­жим, соответствующий значению а=1,0. Процесс яв­ляется сходящимся, поскольку при  система устой­чива, и поэтому значение регулируемой величины с каж­дым колебанием все более приближается к значению задающего воздействия. В связи с этим сигнал на входе элемента с насыщением уменьшается, в результате чего величина а увеличивается и степень устойчивости системы растет.

При несколько больших значениях входного воздей­ствия имеет место неравенство  и выполняет­ся условие .

Из уравнения (4) видно, что это равенство является условием не­устойчивости, так что амплитуда регулируемой величины будет стремиться увеличиваться дальше, приводя к дальнейшему уменьшению величины а. При значениях  годограф  охватывает значе­ния - и условия неустойчивости продолжают выполняться. При этом амплитуды  продолжают возрастать. И, наконец, когда  достигает таких значений, что , амплитуда колебаний стано­вится постоянной. Любое дальнейшее увеличение амплитуды колебаний приводит к такому изменению величины — , что годограф  перестает ее охватывать.

Это приво­дит к более устойчивому режиму работы, т. е. к умень­шению амплитуды регулируемой величины и соответст­венно , до тех пор, пока не достигается выполнение равенства .Любое дальнейшее уменьшение величины  приводит к увеличению больших значе­ний а, соответствующих  и годограф  вновь начинает охватывать величину . Это вновь приводит к возникновению неустойчивости, вызывающей возрастание амплитуды колебаний и приводящей си­стему в режим незатухающих колебаний постоянной амплитуды, соответствующей значению  и постоян­ной частоты . Таким образом, пересечение  и  определяет точку, в которой существуют устойчивые незатухающие колебания постоянных амплитуды и частоты — так называемый устойчивый предельный цикл. При еще больших значениях задающего воздействия , точка — лежит слева от годографа  и не охватывается им. Вначале, до тех пор пока откло­нение регулируемой величины от задающего воздействия не достигнет значения , система устойчива, однако при достижении этого значения, в системе уста­навливаются и поддерживаются незатухающие колеба­ния с такой амплитудой. В этом случае система при­ближается к устойчивому предельному циклу со сторо­ны начальных возмущений большей амплитуды, чем ам­плитуда незатухающих колебаний.

В следующем примере показано, как незатухающие колебания могут возникнуть при начальных рассогла­сованиях, больших или меньших, чем амплитуда уста­новившихся колебаний. Следует отметить, что точка  характеризует неустойчивый предельный цикл в том смысле, что при система устойчива, а при система неустойчива.

Выводы

Таким образом, точка неустойчивого равновесия ха­рактеризует собой нижний предел амплитуд входных сигналов, ниже которых установившиеся колебания не возникают и выше которых возникают колебания с амплитудой, нарастающей до тех пор, пока не достигается точка устойчивого равновесия.

Для иллюстрации того, как описанный здесь подход, использующий понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления, может быть применен на прак­тике, рассмотрим работу условно устойчивой позицион­ной системы регулирования, содержащей предваритель­ный усилитель с насыщением, входным сигналом которой является скачкообразное воздействие.

 Увеличение входных сигналов, приводящее к уменьшению  не влечет за собой заметного увеличения времени переходного процесса. Однако при дальнейшем значительном увеличении амплитуды вход­ного сигнала  пере­ходный процесс принимает вид колебаний с увеличиваю­щейся амплитудой, так что  достигает значения, мень­шего, чем . При достаточном времени амплитуда, несомненно, достигнет значения, соответст­вующего  и в системе установятся незатухающие ко­лебания. Это явление незатухающих колебаний боль­шой амплитуды наблюдалось ранее в позиционных си­стемах регулирования с большим коэффициентом усиле­ния, обладающих насыщением, однако аналитическое объяснение этому было найдено значительно позже. Подход, использующий понятие эквивалентного ком­плексного коэффициента усиления, дает способ аналитического нахожде­ния ответа на вопрос об устойчивости довольно простых, но важных нелинейных систем автоматического регули­рования.

1.                  Ямпольский Л. С., Полищук М. Н. Оптимизация технологических процессов в гибких производственных системах. – К.: Техника, 1988. – 175 с.

2.                  Graham and McRuer D., Analysis of non-linear control systems, New York, Wiley, 1981.