Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

 

UDC 519:681

GEOMETRIC PROBABILITY AND AVERAGING

OF BOUNDARY POTENTIALS

Khomchenko A.N., Al-Dawoud Kamal

Summary. This article offers a simple probabilistic approach to the problem of restoration harmonic function in the two dimensional case. The authors have used the approach for extending the geometric probability to finite difference method (FDM) and finite element method (FEM). The probabilistic formulation is shown to be the equivalent of Privalov's theorem for harmonic functions. Probabilistic models give us a complete picture of the nature of discrete approximation.

Introduction. The history of the development of stochastic geometry began with the famous Buffoon's needle problem, which was formulated and solved by him in 1733 and later published in 1777 [1]. It was the beginning of a new trend in the theory of probability. The Buffoon's work contained the main ideas of the future method of Monte-Carlo (1949) which were used to evaluate the number by throwing a needle at random. In the problems of this kind it is reckoned a priority that random points are distributed uniformly in a certain area. Buffoon's problem is convincing proof of the penetration of geometric ideas into the theory of probability. Since its beginning and up to the present, the theory of probability has always been some kind of consumer towards the rest of mathematics. The connection of the other part of mathematics with the theory of probability is realized by means of the principle of semiconductivity. In so doing the theory of probability absorbs freely the latest achievements of other chapters of mathematics. The reverse tendency is not readily available. This article gives the examples of reverse movements of ideas of probability into applied mathematics.

Formulation And Solution. A two-dimensional net for FDM is shown in fig. 1. For nodes we set: 0(0;0), 1(0;-1), 2(1;0),...,8(-1;1), then circumradius: r=1, R=. Circumference plays an important role in theory of potentials (harmonic functions). Privalov I. (1925) devised a simple definition for harmonic function:

 

,

(1)

 

where  ‑ circumference;  ‑ circumradius; U(0;0) – value of function  in circumcentre;  ‑ value of function  on boundary;  – element of boundary.

The result is important in the study of potential theory. The authors have used this formula (1) for extending results to discrete elements. It should be observed that  is the geometric probability and U(0;0) is mathematical expectation of function . We use formula (1) to construct FD and FE analogs. It is well known that these cases all come under the above general treatment. Discrete FD analog can be received directly using (1) and geometrical probability (fig. 1). For example, the first principal scheme ():

 

,

(2)

The second principal scheme ():

 

.

(3)

 

Naturally, something is lost in the passage from integral to the integral sum. It is a deficiency FDM. As one might expect for FDM, the mean boundary values are independent circumradius . A moment's consideration shows that (2), (3) is discrete analog the Laplacian operator. We now have equivalent definitions for the harmonic function: differential (Laplacian), integral (Privalov's theorem) and discrete representation (formulas (2), (3)). Another consequence of Privalov's theorem is the classic polynomial interpolation of FEM. We now consider the squares 1234 and 5678 (fig.l). In the side of the geometric probability we receive bilinear interpolation on the element with 4 nodes.

Fig. 1 Two-dimension net for FDM and FEM

 

Let  ‑ arbitrary interior point of square 1234. Through point, M we draw line pair which parallel to sides of a square 1234. The interpolation is normally a polynomial function of position, and built up from a set of polynomials with each one associated with a particular node. These functions are termed "shape functions",  for node i with the basic property [2]:

 

                                               (4)

           

In fact,  is probability of hit in rectangular region opposite an angle i. For example,

 

 

On the whole

 

 

Similarly ( – arbitrary interior point of square 5678):

 

 

 

Now we can construct the mathematical expectation:

 

(5)

(6)

 

It should be observed that (5) (6) is generalization (2), (3). In special case ,  (5) and (6) is transform into (2) and (3).

Concluding Remarks. Functions  are to be interpreted as transitional probabilities in the scheme of random walks. Such the approach is generalization of the Muller’s scheme [3].

In general, when all boundary nodes have determinate values, harmonic function at  is given by the sum:

 

 

where m – number of the boundary nodes;  – transitional probability; .

The probabilistic modeling in the problems of mathematical physics and applied geometry has developed most intensively in recent decades. The limits of applicability of probabilistic models are being constantly expanded. More and more often probabilistic tooling allows us to simply obtain the results that require complex calculations and considerations when using other approaches.

 

В статье изложен вероятностный подход к процедуре усреднения граничных потенциалов. С точки зрения геометрической вероятности рассмотрены две основные конечно-разностные схемы для уравнения Лапласа, а также билинейная интерполяция метода конечных элементов на квадрате. Сформулировано вероятностное определение гармонической функции.

 

1.                  Khomchenko A.N. Probabilistic Models in Applied Geometry // The Applied Geometry and Engineering Graphics. – Kyiv: KNUBA, 2002. – Issue № 70. – P. 121 – 126.

2.                  Strang G., Fix G.I. An analysis of the finite element method. – N.J. – Prentice – Hall. Inc. Englwood Cliffs, 1973

3.                  Muller M.E. Some continuous Monte Carlo method for the Dirichlet problem. “Ann. of Math. Statistic”, 1956, V. 27, № 3.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Читайте также

 
Астионенко И.А., Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Моделирование физических полей с распределенными параметрами в многоугольных областях

Бражник Д.А. Управление совмещением изображения объекта в сцене и эталонного изображения.

Орлов В.В. Оценка мощности случайного сигнала на основе корреляционной пространственной обработки

Мінін М.Ю., Коршевнюк Л.О, Бідюк П.І. Моделювання процесів каузальної атрибуції з використанням системи нечіткого логічного виводу, як способу визначення відповідних умовних ймовірностей у байєсових мережах

Бородин В. А. Сравнительная эффективность методов поиска в геометрической области для геоинформационных комплексов реального времени

Гнатушенко В.В. Моделювання процесу формування цифрових сканерних зображень дистанційного зондування.

Борковська Л.О. Інформаційно-керуючий програмний комплекс координатно-вимірювальних машин.

Кондратенко Г. В., Кондратенко Ю. П., Мухортова К. В. Синтез нечетких регуляторов на основе объектно-ориентированных технологий.

Хомченко А.Н. , Моисеенко С.В. , Цыбуленко О.В. Моделирование трансляционных функций формы на гексагоне

Квасніков В.П., Кочеткова О.В. Проектування координатно–вимірювальної машини на нейронних мережах

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Управление коммутационными процессами в интегрированных сетях связи.

Казак В.М., Гальченко С.М., Завгородній С.О. Аналіз можливості застосування імовірнісних методів розпізнавання для виявлення пошкоджень зовнішнього обводу літака.

Пономаренко Л.А., Меликов А.З., Нагиев Ф.Н. Анализ системы обслуживания с различными уровнями пространственных и временных приоритетов.

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.