Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

УДК 681.3.07                                                                                              

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Сальдо В.В., Шеховцов А.В.

Введение. Очень часто для простоты предполагается, что замк­нутые системы автоматического регулирования представ­ляют собой системы с постоянными параметрами тогда их поведение может быть исследовано с по­мощью линейных дифференциальных уравнений  на базе хорошо разработанной теории линейных следящих систем. Предположение о ли­нейности системы справедливо лишь для весьма огра­ниченного класса систем регулирования [1]. Боль­шинство систем существенно нелинейные и ни для како­го момента времени в них не существует соотношения между входным и выходным сигналами, не зависящего от величины входного сигнала.

Однако нелинейность элементов системы регулиро­вания совсем не обязательно должна вызывать тревогу, так как в ряде случаев наилучшие характеристики си­стемы регулирования могут быть получены именно вве­дением в систему нелинейных элементов.

Постановка задачи. Ниже излагаются  различные подходы к рассмо­трению нелинейных замкнутых систем регулирования, использующих методы, разработанные для линейных си­стем [2].

1. Линеаризация  нелинейных элементов  при  малых отклонениях для получения передаточных функций с по­стоянными  коэффициентами.   Такая  линеаризация   воз­можна при малых отклонениях от рабочей точки, т. е. в тех случаях, когда коэффициенты могут считаться до­статочно постоянными, чтобы быть относительно незави­симыми от амплитуды сигнала, приложенного к входу системы, хотя на самом деле при переходе из одной ра­бочей области  в другую  значения  коэффициентов,  ко­нечно,   меняются.   Этот   метод   линеаризации   позволяет применять линейную теорию к системам регулирования, содержащим нелинейные элементы.  Он в основном ис­пользуется  при  исследовании  устойчивости  систем  при малых отклонениях от начала координат и, кроме того, может применяться для исследования динамики систем при ограниченных значениях задающих и возмущающих воздействий.

2. Линеаризация нелинейных элементов для получе­ния их передаточных функций с помощью метода гармо­нического баланса при больших отклонениях и синусоидальных входных воздействиях. При больших отклоне­ниях от рабочей точки передаточные характеристики являются функциями амплитуды сигнала на входе эле­мента, и в связи с этим для исследования отношения выход - вход необходимо применять разложение Фурье для ряда значений сигнала на входе элемента. Измене­ние характеристик элементов с изменением амплитуды сигнала может служить причиной возникновения неза­тухающих колебаний конечной амплитуды. Исследуя устойчивость таких линеаризованных систем, мы полу­чаем в случае нелинейностей типа «зазор» и «насыще­ние» ответы, близкие к тем, которых мы ожидали на ос­новании нашего практического опыта.

Часто при изучении свойств системы автоматическо­го регулирования представляет интерес исследовать влияние малых изменений величины или величин неза­висимых переменных на выходную величину. В особен­ности это важно при исследовании системы на устойчи­вость, когда необходимо определить, могут ли малые изменения входной величины привести к незатухающим или нарастающим колебаниям выходной величины. Не­смотря на то, что характеристики нелинейных систем для малых вариаций входной величины меняются в за­висимости от рабочей области, для каждого конкретного множества рабочих условий величина выходного сигна­ла приближенно пропорциональна входному сигналу.

Таким образом, в ограниченном смысле для каждого из конкретных условий работы реакцию системы можно положить «пропорциональной входному сигналу» и си­стему, следовательно, «линейной». Поскольку частота и амплитуда нормальных значений входных сигналов, для которых ищется закон управления, обеспечивающий вы­сокую точность, часто таковы, что система находится в «линейной» зоне, важно разобраться в методе опреде­ления линеаризованных характеристик системы в лю­бых требуемых условиях работы.

Здесь следует отметить, что при больших значениях входной величины условия «линейной» работы наруша­ются и эти значения входной величины влекут за собой насыщение основных частей системы управления.

Часто при этих больших значениях входной величины проис­ходит резкий переход из одной рабочей области в дру­гую, и при этом точное регулирование осуществить не­возможно. При плавном переходе из одной рабочей об­ласти в другую предположение о линейности системы в различных точках рабочих областей часто оказыва­ется справедливым.

Принцип малых при­ращений. В качестве од­ного из методов линеари­зации уравнений нелиней­ных элементов систем регулирования использу­ется принцип малых при­ращений. Сначала записываются уравнения, представляющие собой общие соотношения между зависимыми и не­зависимыми переменными. Затем переменные в этих уравнениях переписываются в виде некоторых номиналь­ных значений переменных плюс некоторое приращение, характеризующее отклонение от этого номинального значения. Тогда графические или другие функциональ­ные зависимости между переменными записываются в виде отклонений от номинальных значений, соответ­ствующих номинальным рабочим условиям. И, наконец, в результате получается уравнение или система урав­нений, отражающие соотношения, существующие меж­ду величинами приращений зависимых и независимых переменных.

Анализ задачи. В качестве примера рассмотрим вольтамперную ха­рактеристику. Здесь напря­жение представляет собой независимую переменную, ко­торая вызывает ток, служащий показателем отклонения напряжения от  V. Следовательно,

 

      I= f (V),                                                                           (1)

 

где   I - выходной ток,

        V- входное напряжение.

Рассмотрим работу в области напряжения V, кото­рому соответствует ток I. При этом можно записать:

 

I=I+ ΔI,                                                                        (2)

V=V + ΔV,                                                                     (3)

 

где ΔI и ΔV представляют собой соответственно прира­щения величины I и V.

Подставив  эти  выражения  в уравнение   (1), по­лучим:

 

I+ ΔI = ƒ(V + ΔV)                                                      (4)

 

Разложим уравнение (4) в ряд Тейлора в области точки  (I,V):

I + ΔI = ƒ(V) +                                  (5)

При номинальных рабочих значениях I и  V урав­нение  (1)   может быть переписано в виде:

I = f (V)                                                                     (6)

что, будучи подставлено в уравнение  (5), даст:

 

ΔI =                                                    (7)

 

Уравнение (7) указывает на линейную зависи­мость между приращением тока ΔI и приращением на­пряжения ΔV в области  V = V.

Другой иллюстрацией использования принципа ма­лых приращений является часто встречающийся случай, когда регулируемая величина представляет собой про­изведение двух других регулируемых величин.

Рассмо­трим в качестве примера электромагнитный вращающий момент Т, равный произведению потока Ф и тока I. Таким образом,

 

T = KФI                                                           (8)

 

Записав каждую переменную в виде суммы номи­нального значения и приращения, получим:

 

T+ ΔT = K[Ф + ΔФ][I + ΔT]                                           (9)

 

или

T + ΔT = KФI + KФΔI + KIΔФ,                                 (10)

так как членом второго порядка малости  KΔIΔФ мож­но пренебречь.

Поскольку Т = КФI, уравнение для приращения момента, выраженного через приращения потока и тока, может быть записано следующим образом:

 ΔT = KФΔI + KIΔФ,                                            (11)

 

Принцип малых приращений часто используется при анализе многочисленных элементов реальных систем ре­гулирования. Характеристики элементов, используемых в системах регулирования тепловых процессов, химиче­ских процессов, аэродинамических процессов, а также электрического и электронного оборудования, часто за­писываются в виде передаточных функций для малых приращений.

Линеаризация нелинейных элементов при больших отклонениях. В этом пункте рассматриваются такие си­стемы регулирования, в которых величина входного сиг­нала влияет на форму переходного процесса в системе. Подход к решению такой проблемы заключается в том, что мы делаем некоторое предположение о диапазоне величин амплитуд сигналов на входе элемента или эле­ментов, обладающих характеристикой, зависящей от ам­плитуды, затем определяем «эффективные» линейные ха­рактеристики этого элемента или элементов и, наконец, определяем частотную или переходную характеристику этой «эквивалентной» линейной системы. В зависимости от характера «линейной» характеристики при одной ам­плитуде сигнала можно определить, каким образом бу­дет меняться амплитуда сигнала и, следовательно, ка­ким будет новое значение эквивалентной «линейной» ха­рактеристики. Следуя этой процедуре итеративным образом, можно приблизиться к установившемуся состоя­нию, в котором амплитуда сигнала в элементе и величи­на сигнала, возвращающегося к этому элементу, согла­сованы. Это установившееся состояние может представ­лять собой устойчивую работу в смысле устойчивой ли­нейной системы или состояние устойчивых автоколеба­ний конечной амплитуды, что является характерным для нелинейных систем.

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления для синусоидальных входных сигналов. Основное пред­положение, которое делается при изучении нелинейных систем автоматического регулирования, содержащих эле­менты, испытывающие большие отклонения от линейно­го режима, заключается в том, что если сигнал на входе нелинейного элемента синусоидальный и постоянный по амплитуде, то сигнал на выходе также периодический и той же частоты, что и сигнал на входе. Несмотря на то, что выходной сигнал может содержать некоторое число высших гармоник частоты входного сигнала, предполагается, что частота основной составляющей выходною сигнала та же, что и частота входного сигнала. При этом основная составляющая выходного сигнала связана с входным сигналом через усиление и сдвиг по фазе. Таким образом, для такой амплитуды входного сигнала существует «эквивалентная линейная передаточная функ­ция», для которой амплитуда и фазовый сдвиг выходной реакции по отношению к входному сигналу те же самые, что и для основной гармоники сигнала на выходе нели­нейного элемента по отношению к синусоидальному сиг­налу на его входе. Эта эквивалентная линейная переда­точная функция идентична эквивалентному комплексно­му коэффициенту усиления (описывающей функции), определенной Джонсом [3] как «амплитуда и фазо­вый угол основной составляющей реакции по отношению к предполагаемому входному синусоидальному сигна­лу». Конечно, надо помнить, что эквивалентный ком­плексный коэффициент усиления является функцией ам­плитуды синусоиды на входе нелинейного элемента, так что при определении величины эквивалентного комплекс­ного коэффициента усиления следует указывать ампли­туды входного сигнала.

Сравнение реальной и экви­валентной характеристик некоторого нелинейного эле­мента, где входным сигналом является ко­синусоида с амплитудой I, входной сиг­нал может быть записан следующим образом:

 

i(t) = ReIe                                                          (12)

 

Реальный выходной сигнал при входном сигнале та­кого вида является периодическим с тем же периодом, что и период входного сигнала и может быть представ­лен рядом Фурье

 

O(t) = O                                                         (13)

 

где O комплексная величина, обладающая модулем и фазой на каждой частоте и задаваемая выражением

 

O =                                                         (14)

 

Эквивалентный   комплексный    коэффициент     усиления этого элемента равен:

 

G’(a) =                                                                              (15)

 

где функция а зависит от амплитуды и выражается че­рез   соответствующие   переменные   каждой    конкретной системы. Величина О может быть вычислена с помощью уравнения (15) и представля­ет собой основную со­ставляющую реального выходного сигнала.

При использовании понятия эквивалентно­го комплексного коэф­фициента усиления для решения нелинейных задач делается еще од­но допущение относи­тельно остальной части системы регулирова­ния, кроме основного предположения, кото­рое уже было высказа­но, о том, что частоты входного и выходного сигналов одинаковы. Это второе предполо­жение заключается в том, что в системе име­ются достаточно большие накопители энергии, так что все высокочастотные составляющие выходного сигнала настолько сильно затухают к тому моменту, когда они достигают входа нелинейного элемента, что ими можно пренебречь. Таким образом, условие, что на входе нели­нейного элемента присутствует только синусои­дальный сигнал с частотой основной гармоники, не­смотря на то, что на выходе нелинейного элемента име­ются высшие гармоники, удовлетворяется и высшие гар­моники выходного сигнала можно просто отбросить. К счастью, в большинстве реальных систем регулирова­ния содержатся накопители энергии достаточной емкости, так что необходимое затухание чаще всего обеспечивается. В работах Кохенбургера  и Джонсона [3] рассматриваются специальные примеры, в кото­рых расхождения, вызванные использованием этого ме­тода, не превышают нескольких процентов. Следует от­метить, что метод гармонического баланса дает ответ лишь в первом приближении. В связи с этим часто бы­вает необходимо определить, не приводят ли высшие гармоники к каким-либо затруднениям. Джонсон указал метод, с помощью которого можно получить ответ с бо­лее высокой точностью.

Применение метода гармонического баланса рассма­тривается в следующих примерах, в которых элементы с насыщением и зоной нечувствительности (зазором) описываются с помощью эквивалентных комплексных коэффициентов усиления. Хотя каждый из этих эквива­лентных комплексных коэффициентов усиления получен для номинального значения входного сигнала, равного нулю, в системах может случаться, что синусоидальные колебания происходят не относительно номинального значения, равного нулю, а относительно некоторого сме­щенного значения. В таких случаях выходной сигнал асимметричен и, кроме синусоидальной составляющей, выходной сигнал содержит еще и постоянную составляю­щую. При этом эквивалентный комплексный коэффи­циент усиления является функцией не только амплитуды синусоидального колебания, по и номинального рабоче­го уровня сигнала.

Линейная зависимость между вы­ходным и входным сигналами усилительного устройства механического, электронного, электромагнитного или ги­дравлического справедлива лишь в ограниченном диа­пазоне значений входного сигнала. При входных сигна­лах, больших некоторого предельного значения, выход­ной сигнал перестает увеличиваться пропорционально входному и эффективное отношение выходной сиг­нал/входной сигнал уменьшается. Это явление известно под названием насыщения.

Для упрощения анализа явления насыщения предпо­ложим, что реальная характеристика элемента в инте­ресующей нас области может быть аппроксимирована «идеальной» симметричной характеристикой насыщения, а  +О и -О, где О - значение насыщения выходной величины, приближенно равны значениям вы­ходного сигнала в насыщении при больших положитель­ных и отрицательных значениях входного сигнала. I(предельное значение входного сигнала)  представляет собой значение входного сигнала. Таким образом,

 

I= .                                                                    (16)

 

Если на вход усилителя подается сиг­нал вида: i(t) = Isin ωt, где  I> I, то выходной сигнал будет иметь вид для значений i, лежащих в пределах -I< i<I,   выходной сигнал о(t) будет пропорционален i(t)  с коэффициентом пропорциональ­ности K. Для значений i>I  выходной сигнал будет постоянен и равен Определу насыщения О. Анало­гично для значений выходной i<-Iвыходной сигнал будет постоянен и равен О.   Фазовый   угол   α,   при   котором О(t) перестает быть пропорциональным i(t) , равен:

 

α=arsin(I/I),                                                       (17)

 

где для такого вида насыщения (I/I) = а. Следует отметить, что значение α  не зависит от частоты входной синусоиды.  

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления такого элемента с насыщением  может быть представлен в безразмерной форме в виде отношения к его значению в линейной зоне. Это отношение, или коэффициент изме­нения усиления элемента с насыщением  А, может быть выражено в виде:

 

A=                                                              (18)

 

и представлено в виде функции параметра I/I.

Влияние насыщения заклю­чается в уменьшении фактического коэффициента усиле­ния элемента с насыщением. В связи с тем, что предпо­лагалось, что характеристика элемента не обладает  гистерезисом, в выходном сигнале нет сдвига по фазе и единственным результатом насыщения является умень­шение коэффициента усиления.

Заключение. Помимо рассмотренного простейшего «усилительно­го» типа насыщения, главным результатом которого является изменение усиления элемента, влияние насы­щения может проявляться в виде изменения постоянной времени в функции амплитуды сигнала на входе элемен­та. Несмотря на то, что влияние насыщения на постоян­ные времени несколько отлично в том смысле, что ча­стоты, на которых возникает неустойчивость, не могут быть определены так же непосредственно, идея и мате­матический аппарат аналогичны рассмотренным выше.

Зона нечувствительности, или зазор, представляет собой другой тип нелинейности, обычно встречающийся в системах регулирования. Для значений входного сигнала I > I/2 зависимость выходного сигнала  от   входного  линейна   с  коэффициентом   пропорцио­нальности, равным:

 

K =                                                       (19)

 

Типичными примерами элементов, обладающих ха­рактеристикой,  являются комбинация датчика с усилителем, а также элемент с механическим зазором.

Если синусоидальный входной сигнал i(t)  с ампли­тудой  подается на вход элемента с зазором, выходной сигнал, как указывалось выше, будет иметь форму i(t)=Isint.  Для +> > -  выходной сигнал равен нулю. Для  ≥выходной сигнал пропорционален величине  - с коэффи­циентом пропорциональности К.

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления элемента с зоной нечувствительности может быть выражен в безразмерной форме через свое значение в зоне линейности:

 

А=                                              (20)

 

Сравнивая   выражения   (20)   и   (18),   можно заметить, что при одинаковом α справедливо равенство

 

= 1 - А                                                             (21)   


Так как на величина А отображается в виде функции I/ , то величина  также может быть определена , если вместо I/  воспользоваться уравнением  и использовать уравнение (21).

Уравнение (21) ценно еще тем, что оно подчер­кивает связь насыщения и зо­ны нечувствительности. Для входных сигналов с малой амплитудой (I) влияние насыщения проявляется в незначительном по сравне­нию со случаем отсутствия насыщения уменьшении эк­вивалентного комплексного коэффициента усиления. Напротив влияние зоны нечувствительности для вход­ных сигналов с малой амплитудой заключается в зна­чительном, по сравнению со случаем отсутствия зоны нечувствительности, уменьшении эквивалентного ком­плексного коэффициента усиления. Наоборот, для вход­ных сигналов с большой амплитудой >>I насыще­ние существенно уменьшает эквивалентный комплексный коэффициент усиления по сравнению со случаем отсут­ствия насыщения. И, наконец, влияние зоны нечувстви­тельности в случае входных сигналов большой амплитуды >> проявляется в незначительном измене­нии эквивалентного комплексного коэффициента усиле­ния, по сравнению со случаем отсутствия зоны нечувст­вительности.

 

At designing control systems of the characteristic of specifying influence and controlled process, as well as the requirements to the characteristics of the  system are rather constant. In result the law of management in system designed in such assumption, appeared fixed, and value of parameters - constant. In a case, when essentially vary either specifying influences, or the characteristics of process, or requirement to the characteristics of system, there appears desirable is an opportunity to adapt the characteristics in the best way to satisfy with the general(common) requirements to system.

 

 

1.                  Ямпольский Л. С., Полищук М. Н. Оптимизация технологических процессов в гибких производственных системах. – К.:Техника, 1988.- 175 с.

2.                  Gibson J. E., Non-linear automatic control, New York, McGraw-Hill, 1983.

3.                  Jonson E. C., Sinusoidal analysis of feedback control systems containing non- linear elements, Transactions AIEE, pt. II, vol. 71, p 169-181, 1982.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.