Главная Контакты Добавить в избранное Авторы Вопросы и ответы
,

 

УДК 621.3.013.681.142.2

МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ПРОЦЕСІВ

НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

Білий Л.Д.

Розрахунок періодичних процесів нелінійних електромеханічних систем в за­га­ль­но­му випадку призводить до необхідності визначення стаціонарних (періодичних) роз­в’яз­ків вихідної системи диференціальних рівнянь. Розв’язування цієї задачі доцільно ви­конувати методом побудови моделі чутливості до початкових умов [1].

Серйозною перешкодою на шляху використання цього методу є проблема виз­на­чен­ня матриці переходу станів або матриці монодромії. В задачах електромеханіки зап­ро­поновано знаходити її у вигляді добутку двох інших матриць. Такий підхід ви­ко­рис­то­ву­вався в ряді практичних розрахунків, а тепер узагальнимо його на будь-яку елек­т­ро­ме­ха­нічну систему.

Запишемо в загальному вигляді диференціальні рівняння будь-якої елек­т­ро­ме­ха­ніч­ної системи

 

,

(1)

 

де X = (х1, х2, ...,хn)t - вектор змінних; А(Х) – матриця коефіцієнтів; В(t) – вектор вільних чле­нів (збурюючих сигналів системи).

Вектор початкових умов диференціальних рівнянь (1) позначимо Х(0). Система рів­ня­нь (1) при заданих початкових умовах Х(0) становить задачу Коші.

Якщо праві частини (1) є Т-періодичними функціями, то існує періодичний роз­в’я­зок системи (1)

 

Х(t) = Х(t + T).

(2)

 

Вирази (1), (2) становлять двоточкову Т-періодичну крайову задачу для системи ди­фе­ренціальних рівнянь.

Як зазначалося раніше, нас цікавить усталений (періодичний) процес системи, при яко­му виконується рівність (2). В протилежному випадку буде існувати вектор похибок

 

F(Х(0)) = Х(0) – Х(Х(0),T) = 0.

(3)

 

Необхідно знайти такий розв’язок, при якому цей вектор був би рівний нулю. Його одер­жуємо внаслідок розв’язання трансцендентного рівняння (3). Для цього можна ви­ко­рис­тати ітераційний метод Ньютона

 

Х(0)k+1 = Х(0)k – [F' (Х(0)k)]-1· F (Х(0)k).

(4)

 

В цій задачі початкові умови стають шуканими невідомими.

Вираз в квадратних дужках є якобіаном системи рівнянь (3), тому для його виз­на­чен­ня диференціюємо рівняння (3) по Х(0)

 

F' (Х(0)) = 1 – Φ(T),

(5)

 

де

 

.

(6)

 

Матрицю (6) називають фундаментальною матрицею або матрицею монодромії. В тех­нічний літературі вона відома під назвою матриця переходу станів.

Їх отримаємо ди­фе­рен­ці­ю­ван­ням (1) по х(0)

 

.

(7)

 

В практичних задачах матриця А(Х) є досить склад­ною, а тому рівняннями (7) не мож­на скористатися при організації ітераційного про­цесу (4).

Знайдемо вектор інших змінних, які однозначно визначаються через Х, а їх ди­фе­рен­­ціальні рівняння були б простіші від (1). Позначимо вектор нових змінних через Y. За­пишемо функціональну залежність між вектором нових змінних Y і вектором X у виг­ля­ді

 

Y = A(X)-1 X,

(8)

 

де Y = (у12,…уn)t – вектор нових змінних.

Диференціюючи вираз (8) по X(0), одержимо при t = T

 

,

(9)

де

.

(10)

 

Якби в (9) множник (10) був відомий, то матрицю монодромії можна було б легко знай­ти. Для визначення матриці (10) необхідно мати систему диференціальних рівнянь для змінної Y, праві частини яких повинні лінійно залежати від X. Запишемо таку сис­те­му рівнянь у вигляді

 

,

(11)

 

де С – матриця параметрів вимірювальної системи; D(t)- вектор вільних членів.

Тепер матрицю (10) визначимо з рівняння першої варіації, отриманого ди­фе­рен­ці­ю­ван­ням (11) по X(0)

 

.

(12)

Таким чином, функціональна залежність (8) дала змогу представити матрицю мо­но­д­ромії добутком матриці коефіцієнтів вихідної системи диференціальних рівнянь (1) і мат­риці чутливості до початкових умов додаткового рівняння (11).

На кожному кроці ітераційного процесу (4) сумісному інтегруванню підлягає сис­те­ма диференційних рівнянь (1), (12).

 

Алгоритм

1.                  Маючи на k-й ітерації значення вектора X(t)k і матриць A(X(t), t), S(X(t), t) (на першому кроці початкові наближення X(0)0 і A(0)0, S(0)0), інтегруємо рів­­няння (1), (12) на часовому інтервалі [0, T]. В ре­зультаті знаходимо X(X(0), T)k, A(T)k, S(T)k.

Значення вектора X(0)0 як нульове наближення формули Ньютона і по­чат­кова умо­ва для (1) задається довільним. Але в тих випадках, коли роз­в’язок неоднозначний, тоб­­то коли існує декілька періодичних розв’язків, зна­чен­ня X(0)0 визначає вхід у зону при­­тягання одного з них. Тому, щоб от­ри­ма­ти сукупність усіх можливих періодичних роз­­в’язків системи диференціальних рів­нянь, необхідно варіювати значеннями X(0)0.

Якщо враховувати, що для моменту часу t = 0, у відповідності з (6) бу­де Ф(0)k = 1, то згідно з (5) і (9) для матриці допоміжної моделі чутливості по­винна строго за­до­во­ль­ня­тися умова

 

S(0)k = [A(0)k]-1,

(13)

 

2.                  Маючи значення X(T)k, A(T)k, S(T)k, згідно з (3) обчислюємо ці­льо­ву фун­к­цію F(X(0)).

3.                  Згідно з (5) визначаємо значення матриці Якобі.

4.                  На підставі ітераційної формули (4) знаходимо уточнене значення век­тора по­чат­ко­вих умов X(0)k+1.

5.                  Ітераційний процес закінчується при досягненні заданої точності вход­жен­ня в пе­ріодичний розв’язок

 

mod(X(0)k-X(T)k) £ e,

(14)

 

де ε – вектор заданих точностей обчислення змінних.

 

Висновки

1. Основна трудність побудови моделі чутливості до початкових умов елек­тромеханічних систем - визначення мат­риці монодромії, розв’язана шляхом ви­ко­рис­тання функціональної залежності між змін­ними стану й додатковими змінними (в елек­тромеханічних системах між стру­мами контурів і потокозчепленнями), що дало змогу пред­ставити матрицю монодромії до­бут­ком двох матриць, перша з яких є матриця кое­­фіцієнтів ви­хідної системи рівнянь, а дру­га досить просто знаходиться з ди­фе­рен­ці­аль­них рівнянь пер­шої варіації.

2. Побудована модель чутливості до початкових умов електромеханічних систем у за­гальному вигляді (диференціальні рівняння (1),(12)), спроможна знай­ти такі початкові умови, які виключають перехідну реакцію і відразу призводять до пе­ріодичного елек­тро­ме­ханічного процесу в часовій області з заздалегідь заданою точ­ніс­тю.

3. Алгоритм дає змогу розрахувати перехідні процеси досліджуваної системи при виключенні з нього ітераційного процесу (приймається теоретично t®¥, а прак­тич­но – якесь велике значення).

Метод спроможній знайти неоднозначні розв’язки системи ди­фе­рен­ці­аль­них рів­нянь.

 

The method of build-up of model of parametric sensitivity to the starting condutions of a solution of the nonlinear differential equations is offered.

 

1.                  Чабан В.И., Билый Л.А. К расчету периодических режимов элек­тро­энер­ге­ти­чес­ких устройств // Техническая электродинамика. – 1982. – №1. – С.73–77.

 





Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]

Моделирование объектов и систем управления

Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обучении

Славко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором

Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего

Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності

Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии

Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції

Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога

Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов

Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта

Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах

Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов

Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля

Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики

Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки

Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив

Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога

Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів

Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности

Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах

Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори

Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем

Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде

Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы

Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25

Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів

Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей

Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції

Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем

Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов

Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов

Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона

Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога

Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов

Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога

Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти

Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)

Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами

Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів

Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов

Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж

Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління

Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами

Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности

Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab

Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве

Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса

Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.

Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.

Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.

Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.

Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.

Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі

Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.

Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.

Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.

Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.